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1、第二章 矩阵复习课,主要内容 典型例题 自测题,回章目录,第二章 矩阵复习课 主要内容回章目录,本章知识结构图,回章目录,本章知识结构图矩阵概念定 义相等,矩阵的定义,由 个数,排成的 行 列的数表,称为矩阵的第i行j列的元素.,矩阵的定义由 个数排成的 行 列的数表称为一,元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵.,元素为实数的称为实矩阵,元素为复数的称为复矩阵.,2.几种特殊矩阵,元素全为零的 矩阵，记为:O或,零矩阵:,行矩阵:,只有一行的矩阵。,列矩阵:,只有一列的矩阵。,方阵:,行数列数皆相等的矩阵。,上三角方阵:,非零元素只可能在主对角线及其上方。,2.几种特殊矩阵元素全为零
2、的 矩阵，记为:O或零,下三角方阵:,非零元素只可能在主对角线及其下方.,对角方阵:,数量矩阵:,单位方阵:,主对角线上全为1的对角方阵.,下三角方阵:非零元素只可能在主对角线及其下方.对角方阵:数,3.矩阵的运算,同型矩阵:,行数和列数均相等的矩阵.,如果两个矩阵 是同型矩,阵,且各对应元素也相同,即,则称矩阵 相等,记作,两个 矩阵 的和,矩阵的和:,矩阵相等:,定义为,3.矩阵的运算同型矩阵:行数和列数均相等的矩阵.如果两个矩,矩阵的数乘:,定义为,矩阵的线性运算的运算规律:,矩阵的数乘:定义为矩阵的线性运算的运算规律:,矩阵相乘:,矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,矩阵相乘:与乘积
3、规定为一个 矩阵其中矩阵乘法,n阶方阵的幂:,若A是 阶矩阵，定义 为A的 次幂,为正整数，,易证,转置矩阵:,转置矩阵的运算性质,n阶方阵的幂:若A是 阶矩阵，定义 为A的 次幂,为正,对称阵:,设 为 阶方阵，如果满足，即.,则 称为对称阵.,反对称阵:,伴随方阵:,对称阵:设 为 阶方阵，如果满足,余子式,称方阵,为方阵 的伴随方阵.,回章目录,余子式,称方阵为方阵 的伴随方阵.回章目录,4.方阵的行列式,由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成的,行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,4.方阵的行列式由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成,5.逆矩阵,对于 阶矩阵，如果存在 阶矩阵
4、,使得,则称 为可逆矩阵，是 的逆方阵。,定义,可逆,相关定理及性质,5.逆矩阵对于 阶矩阵，如果存在 阶矩阵,使得,;.，则若可逆，且，其中为的伴随方阵。,6.分块矩阵,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似,回章目录,6.分块矩阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,典型例题,一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法,回章目录,典型例题 一、矩阵的运算回章目录,一、矩阵的运算,矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.,例1,一、矩阵的运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地
5、运用矩阵的运算性,注：对一般的 阶方阵，我们常常用归纳的方法求.,注：对一般的 阶方阵，我们常常用归纳的方,例2,解:,例2解:,例3,若 阶实对称阵 满足,证明,例3若 阶实对称阵 满足,证:为对称阵,故有,因此有,比较 两端的 元素,由于 为实数,故 即,证:为对称阵,故有,因,二、有关逆矩阵的运算及证明,1.利用定义求逆阵,利用定义求 阶方阵 逆阵，即找或猜或凑一个,阶方阵，使 或，从而.,例4,二、有关逆矩阵的运算及证明1.利用定义求逆阵利用定义求,高二数学矩阵和行列式初步课件,例4,例4,2.利用伴随矩阵 求逆阵,例5,2.利用伴随矩阵 求逆阵例5,注：对2阶数字方阵求逆一般,都用
6、来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用 求其逆阵，因为若用 去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法.,回章目录,注：对2阶数字方阵求逆一般,都用 来做，既简便又迅速，但对,3.利用分块矩阵求逆阵,例6,3.利用分块矩阵求逆阵例6,从而,4.利用定义证明某一矩阵 为矩阵 的逆阵,从而4.利用定义证明某一矩阵 为矩阵 的逆阵,例7,注：1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：,例7注：1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要,证明矩阵 可逆；求逆阵；证明矩阵 是矩,2.证明矩阵 A 可逆，可利用 A 的行列式不为零或找一个矩阵 B
7、，使 AB=E 或 BA=E 等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用 A*(如2阶矩阵)或初等变换(3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块矩阵来做.对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用定义或 A*来做；证明矩阵 B 是矩阵 A 的逆阵，只需验证 AB=E 或 BA=E 即可.,阵 的逆阵.,证明矩阵 可逆；求逆阵；证明矩阵 是矩2.证明矩阵,三.矩阵方程及其求解方法,矩阵方程,解,例8,三.矩阵方程及其求解方法矩阵方程解例8,高二数学矩阵和行列式初步课件,以及 及，再求 及 就麻烦多了.因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.,例9,注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求,以及 及，再求 及,回章目录,回章目录,第二章自测题,一、填空题(8分/题),1)为3阶方阵,已知 则,第二章自测题一、填空题(8分/题)1)为3阶方阵,3)已知,则,3)已知 则,二.证明题(26分),二.证明题(26分),自测题答案,1)3,1/3,9,-1/3;,2)4;,3)0;,一.,三.,回章目录,结束放映,自测题答案1)3,1/3,9,-1,
