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1、山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.6小节机器人的杆件的速度,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.6 机器人的杆件的速度,基本思路：已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算i+1杆件的线速度和角速度。如图所示，设已知i杆件的速度为i和vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,则：
2、在i+1坐标系中表示的i+1杆件杆的角速度为：,在i+1坐标系中表示的i+1坐标系原点的线速度为：,在i+1中表示的i+1杆的角速度,其中 是在i中表示的指向i+1原点的距离。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关节速度为函数的手尖处的速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,解：1、建立坐标系，如图：2、求位姿矩阵：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,得：,1杆在1中表示的速度,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/0
3、9/02,、机器人的杆件的速度,如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。,则：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比矩阵。解：由例1知：,则：,及,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自由度，列数等于机器人的关节数。同理，我们可以求相对基座坐标系的雅克比矩阵。,所以：,10,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,、机器人的杆件的速度,雅克比矩阵的逆为：,当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由雅克比逆矩阵可得：,当2=0时，上式
4、分母为零，两关节速度将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,第4章 机器人操作动力学,4.1、概述4.2、机器人的牛顿-欧拉动力学方程4.3、机器人拉格朗日动力学方程简介,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.1、概述,为什么要研究机器人的动力学问题？1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其他力或力矩作用的结果。2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性能。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.1、概述,机器人动力学研究内容：正问题：已知作用在机器人机构上的力
5、和力矩，求机器人机构各关节的位移、速度、加速度，即：F=ma。反问题：已知机器人机构各关节的位移、速度和加速度，求作用在各关节上的驱动力或驱动力矩，即：am=F。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.1、概述,机器人动力学研究方法：目标：根据机器人机构的结构特点、运动学和动力学原理，提出通用、快捷的建立动力学方程的方法。数学工具：矢量方法、张量方法、旋量方法及矩阵方法等。力学原理：动量矩定理、能量守恒定理、牛顿欧拉方程、达朗贝尔原理、虚功原理、拉格朗日方程、哈密尔顿原理、凯恩方程等。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.1、概述,几项假设：1、构
6、成机器人的各杆件都是刚体，即不考虑杆件的变形。2、忽略各种间隙等因数的影响。3、暂不考虑驱动系统的动力学。,15,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,机器人动力学的特点：1、串联机器人由多个杆件经关节轴串联构成，属于多体动力学的研究范畴。2、各杆件的速度、加速度是关节位置及时间的函数，随机器人杆件构形的不同而改变。3、机器人动力学的计算复杂，多采用数值递推的方法计算。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,我们知道：刚体运动=质心的平动+绕质心的转动其中：质心平动：用牛顿方程描述。绕质心的转动：用
7、欧拉方程定义。它们都涉及到质量及其分布，我们先复习一下转动惯量的计算。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,如图所示，设刚体的质量为，以质心为原点的随体坐标系 下的惯量矩阵 由六个量组成，表示为：,一、惯量矩阵（张量）,图3.1,式中：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,惯量矩阵中的元素 称为惯量矩(Mass moments of inertia)，而具有混合指标的元素称为惯量积(Mass products of inertia)。对于给定的物体，惯量积的值与建立的坐标系的位置及方向有关；如果
8、我们选择的坐标系合适，可使惯量积的值为零。这样的坐标系轴称为主轴（Principle axes）,相应的惯量称为主惯量。事实上，主惯量是惯量矩阵的三个特征值。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,平行轴定理（Parallel-axis theorem）:已知相对于某一原点位于物体质心坐标系C的惯量张量，坐标系A平行于坐标系C，则相对于A坐标系的惯量张量为：,其中：为质心相对于A坐标系的坐标。,20,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,二、牛顿欧拉方程 我们假设机器人的每个杆件都为刚体，为了运动杆
9、件，我们必须加速或减速它们，运动杆件所需要的力或力矩是所需加速度和杆件质量分布的函数；牛顿方程和用于转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人驱动力矩、负载力（力矩）、惯量和加速度之间的关系。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,我们先研究质心的平动，如图4.1所示，假设刚体的质量为，质心在C点，质心处的位置矢量用 表示，则质心处的加速度为；设刚体绕质心转动的角速度用 表示，绕质心的角加速度为，根据牛顿方程可得作用在刚体质心C处的力为：,图4.1,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,根据三维空间欧拉方
10、程，作用在刚体上的力矩为：,图4.1,以上两式合称为牛顿欧拉方程。,式中，M 为作用力对刚体质心的矩，为绕质心的角速度和角加速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,三、加速度计算1、线加速度,如图所示，设坐标系i与i-1杆固联，其原点加速度为ai-1,角速度为i-1;Oi+1随杆件i相对i坐标系旋转，相对转速为。P为i杆上任意一点。,15,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,Pi点的相对速度和加速度为：Pi点的绝对加速度为：,e,r,k,代入并化简得：,即：,上述参数都是在基础坐标系中表示的
11、。,26,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,i+1坐标系原点的加速度为：,设i杆件质心为ci,则其加速度为：,2、角加速度 i杆的角加速度为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,四、作用力和力矩 计算出每个杆件质心的加速度后，我们可以应用牛顿-欧拉方程来计算作用在每个杆件质心的惯性力和惯性力矩。根据牛顿-欧拉方程，有：,28,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.2 机械人的牛顿欧拉方程,图 2 构件受力图,如图2所示，将第i个构件Li作为隔离体进行分析，作用在其上的力
12、和力矩有：,作用在i杆件上的外力和外力矩，i-1杆件作用在i杆件上的力和力矩，以及i+1杆件作用在i杆件上的力和力矩。,29,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程,其中：,Fi+1,i构件Li+1作用在构件Li上的力。Mi+1,i构件Li+1作用在构件Li上的力矩。Fi-1,i构件Li-1作用在构件Li上的力。Mi-1,i构件Li-1作用在构件Li上的力矩。Fi 作用在第i个构件Li上的外力简化到 质心C处的合力，即外力的主矢。Mi 作用在第i个构件Li上的外力矩简化到质心C处的合力矩，即外力的主矩。,山东大学机械工程学院机电工程研究所201
13、0/09/02,3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程,上述力和力矩包括了运动副中的约束反力、驱动力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i个构件上的所有力化简到质心的总的合力为：,它们都在基础坐标系中表示。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程,相对于质心的总的合力矩Mi为：,最后，为了便于递推计算，重新安排力和力矩计算公式为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程,i杆件需要的关节力矩为相邻杆件作用于它的力矩的Z分量，即：,牛顿-欧拉方程的递推算法：由两部分组成：首先，从1号杆到n号杆，向
14、前递推计算各杆的速度和加速度。然后，再从n号杆到1号杆，向后递推计算作用力和力矩，以及关节驱动力矩。算法过程总结如下：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程,向前递推：i:06,向后递推：i:61,惯性力惯性力矩,条件：基础杆件和各关节的角速度和角加速度已知,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程,引力对杆件作用的影响可以通过设置 来实现，这里，G为引力常数。上面给出了关节型机器人的动力学计算方法，对于移动关节可以推导相应的方程。对一些相对简单的问题，用上述方法，也可能得到闭式解析结果。上述递
15、推算法是一种通用算法，可以用于任意自由度数的关节型机器人。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,图 3 平面两自由度机器人机构,例1 如图3所示的平面两自由度机器人机构。连杆L1质心为C1，质量为m1，驱动力矩为m1=0 0 m11T，角速度为1=0 0 1T,加速度为1=0 0 1T;连杆L2质心为C2，质量为m2，驱动力矩为m2=0 0 m22T，角速度为2=0 0 2T,加速度为2=0 0 2T，,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,选取关节O和关节A处的转角1和2为系统的广义坐标，可以写出连杆L1的牛顿欧拉方程
16、为:,连杆L2的牛顿欧拉方程为:,式中:,重力,驱动力矩,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,由以上几式消去杆件间作用力，可解得:,考虑质心位置：,求导得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,另外：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,有：,即：,对m22可同样写出矩阵方程。,代入加速度分量，得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,化简可得：,上式即为各杆件关节的驱动力计算公式，它是一个以角加速度为变量、变系数的非线性动力学方程。,山东大学
17、机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,以上两式进一步写成：,式中：,系数是位置的函数,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,例2：如图所示为两杆平面机器人，为了简单起见，我们假设每个杆件的质量集中于杆件的尾部，其大小为m1和m2。,解：每个杆件的质量中心矢量为：,由于点质量假设，每个杆件相对质心的惯性张量为零，即：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,末端执行器上无作用力，所以：,基座静止，因此：,考虑到引力，我们使用：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例
18、,应用递推公式有：向前：1杆件：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,2杆件：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,向后递推：2杆件：,1杆件：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,牛顿欧拉方程实例,取力矩的Z分量，得到关节力矩：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,称 为惯量阵，是离心力、科氏力等相关部分，为重力部分。特点：多变量、时变、非线性、强耦合。,机器人机构动力学方程,通常，机器人的动力学方程常写
19、为抽象的形式：,其中：为广义坐标向量，为广义力向量。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,拉格朗日方程是基于能量项对系统变量及时间的微分而建立的。对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿欧拉方程法更显复杂，然而随着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,拉格朗日函数为系统的动能 和位能 之差 即：,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,系统拉格朗日方程为：,式中：,系统的广义坐标数,作用在第i个广义坐标上的广义 力或广义力矩,第i个广义坐标,第i个广义速度
20、,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,步骤：1、速度分析，求出速度的平方。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,2、求系统动能,3、求系统位能,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,4、计算拉格朗日函数,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,5、代入拉格朗日方程,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,作用在关节上的广义力为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02,4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介,上式进一步写成,式中,
