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1、第7章 数值积分,计算定积分有微积分基本公式,但很多函数找不到原函数，如,等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。,1 插值型求积公式,若已知定积分,的被积函数(x)在节点ax0 x1xnb上的函数值 yk=(xk),k=0,1,2,n,所以有,设(x)在a,b具有n+1阶连续导数,则有,则可以构造n次Lagrange插值多项式Ln(x),因为,(x)=Ln(x)+Rn(x),其中,(7.2),求积公式(7.1)称为求积公式的一般形式.若求积公式中积分系数Ak满足(7.2),则称之为插值型求积公式.,为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(
2、k=0,1,2,n,则有,令,则有,称式(7.4)为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数.,例1,设(x)C2a,b,求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差.,解 计算Cotes系数,于是有,从几何上看:,所以公式,则有误差估计,若记,o,x,y,a,b,也称为梯形公式,记为T.,=T,例2,设(x)C4a,b,求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差.,解 计算Cotes系数,y=(x),称之为Simpson公式或抛物线公式，记为S.,构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a),H3(b)=(b),于是有,容易证明Simpson公式对不高
3、于三次的多项式精确成立,即,这时插值误差为,=S.,于是有,若记,则有,由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下:,例3 求n=4的Newton-Cotes公式及误差.,解 查表可得,于是有,称之为Cotes公式，记为C。其误差为,其中,xk=a+kh,k=0,1,2,3,4,h=(b-a)/4.,一般地,Newton-Cotes公式的截断误差为,例4,用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分,的近似值。,解,IT=1/2(4+2)=3,IS=1/6(4+12.8+2)=3.13333,IC=1/90(28+14)=3.14212,定义7.1 若求积公式
4、,对(x)=xj(j=0,1,2,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不精确成立,即,2 求积公式的代数精度,则称此公式具有m次代数精度.,可见,若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.,n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度,n是偶数时具有n+1次代数精度.,具有n次代数精度,则,若求积公式,(7.5),这是关于A0,A1,An的线性方程组,其系数行列式为,例5 确定形如,所以方程组(7.5)有唯一解。,的求积公式，使其代数精度尽可能高。,数值求积公式为,解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则,A0+A1+A2=3,A1+3A2=4.5,A1+9
5、A2=9,解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.,例6 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式,具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?,解得:A0=A2=1/3,A1=4/3.,求积公式为,当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立.,解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则,A0+A1+A2=2,-A0+A2=0,A0+A2=2/3,当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立.,所以,此公式的代数精度为3.,例7,试确定参数A0,A1,A2,使求积公式,具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?,解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则,A0+
6、A1+A2=2/3,-A0+A2=0,A0+A2=2/5,解得:A0=A2=1/5,A1=4/15.,求积公式为,经验证公式对(x)=x3精确成立,但对(x)=x4不精确成立,公式的代数精度为3.,试确定参数A0,A1和x0,x1,使求积公式,例8,具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?,解 令公式对(x)=1,x,x2,x3都精确成立,则,A0+A1=2,A0 x0+A1x1=0,A0 x02+A1x12=2/3,A0 x03+A1x13=0,解得:,求积公式为,求积公式的代数精度为3。,在区间a，b上,取等距节点,若在每个小区间xk-1,xk用梯形公式，则有,称为复化梯形公式，记为,
7、3 复化求积公式,xk=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,由定积分的区间可加性,有,可见,复化梯形公式是收敛的。而且,要使|I-Tn|,只要,如果记M2=,复化梯形公式的误差为,若将(7.6)式中,每个小区间上的积分采用Simpson公式,则可得到复化Simpson公式:,，则有,其中，,，而且误差为,如果记M4=,，则有,复化Simpson公式也是收敛的,而且,要使|I-Sn|,只要,其中,误差为,类似地可得复化Cotes公式:,复化Cotes公式也是收敛的,而且,要使|I-Cn|,只要,已知函数,分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分,解,例
8、9,的数据表,的近似值。,定积分I精确到小数点后7位的值是0.9460831。,利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别计算上例中定积分,若使精度=10-6,问各需取n为多少?,解 因为(x)=,例10,所以有,于是有,对复化梯形公式,若使|I-Tn|10-6,只要,实际上,S3=0.9460838.,故应取n=167.,对复化Simpson公式,若使|I-Sn|10-6,只要,故只需取n=3.,由此得,由于,一方面，若|T2n-Tn|3,则有近似误差|I-T2n|.,4 Romberg求积公式,所以有,另一方面，(4T2n-Tn)/3应比Tn和T2n的近似程度更好.事实上,有,其中,xk
9、=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,而且有,于是有,因此有逐次分半的复化梯形公式的递推公式：,只要,而且，要使,也有逐次分半的复化Simpson公式的递推公式：,由复化Simpson公式的误差估计式有：,所以有,由此得,一方面，若|S2n-Sn|15,则有近似误差|I-S2n|.,另一方面,(16S2n-Sn)/15应比Sn和S2n的近似程度更好.事实上,有,(16S2n-Sn)/15=Cn,所以有,由此得,一方面，若|C2n-Cn|63,则有近似误差|I-C2n|.,另一方面,(64C2n-Cn)/63应比Cn和C2n的近似程度更好.,记(64C2n-Cn)/63=Rn,称为
10、Romberg求积公式.,类似地,由于,用Tm(k)(m=1,2,3,4)分别表示把区间2k等分的复化梯形公式,复化Simpson公式,复化Cotes公式和Romberg求积公式.,而且，要使|I-Tm(k)|,只要|Tm(k)-Tm(k-1)|(4m-1)(m=1,2,3,4).,则有,若对Romberg求积公式作组合也有,实际计算可按下表顺序进行,例11,利用Romberg积分公式计算积分,解 按递推公式计算,结果如下,可见,由于|T1(4)-T1(3)|=0.0019531,应有|I-T1(4)|0.000651033.,由于|T2(3)-T2(2)|=0.0000001,应有|I-T2
11、(3)|0.00000000666.,由于|T3(2)-T3(1)|=0.0000015,应有|I-T3(2)|0.0000000238.,由于|T4(1)-T4(0)|=0.0000068,应有|I-T4(1)|0.0000002666.,定理7.1 区间a,b上权函数为(x)的具有n个节点的数值积分公式代数精度不超过2n-1次.,取2n次多项式p(x)=(x-x1)2(x-x2)2(x-xn)2,则有,5 Gauss型求积公式,5.1 Gauss型求积公式的一般理论,证明 若记x1,x2,xn为求积节点,则积分公式为,所以,求积公式的代数精度不超过2n-1.,使求积公式具有2n-1次代数精
12、度的节点x1,x2,xn称为Gauss点,此时的插值型求积公式称为Gauss型求积公式.,由例8可见,求积公式,就是Gauss型求积公式,取区间a,b上权函数为(x)的正交多项式pn(x)的n个零点x1,x2,xn作为求积节点,用Newton插值余项有误差,所以当(x)是次数不超过2n-1的多项式时,R=0.,就是区间-1,1上权函数(x)=1的Gauss点.,下面用构造性方法给出Gauss点的求法.,对区间a,b上权函数为(x)的积分,(2)求出pn(x)的n个零点x1,x2,xn即为Gsuss点.,由定理7.2可见,构造Gauss型求积公式的方法为:,例12 求积分,定理7.2,区间a,b
13、上权函数为(x)的正交多项式pn(x)的n个零点x1,x2,xn恰为Gauss点.,(1)求出区间a,b上权函数为(x)的正交多项式pn(x).,(3)计算积分系数,的2点Gauss公式.,解 按Schemite正交化过程作出正交多项式:,p0(x)=1.,P2(x)的两个零点为,故两点Gauss公式为,积分系数为,区间-1,1上权函数(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.,5.2 几种Gauss型求积公式,(1)Gauss-Legendre求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.,用3点Ga
14、uss公式计算积分,解 查表得x1=-0.7745966692,x2=0,x3=0.7745966692,A1=A3=0.5555555556,A2=0.8888888889,所以有,Gauss-Legendre求积公式的余项为,例13,误差为,实际上,I=2sin1=1.68294197,误差为|R|=6.15810-5.,用Simpson公式,则有I1.69353487,误差为|R|=1.0610-2.,由于,因此,a,b上权函数(x)=1的Gauss型求积公式为,用3点Gauss公式计算积分,结果远比Simpson公式的结果精确.,例14,解 这里Gauss点和积分系数与上例相同,所以,
15、求积误差可表示为,区间0,)上权函数(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.,(2)Gauss-Laguerre求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.,Gauss-Laguerre求积公式为,求积公式的误差为,由于,所以,对0,+)上权函数(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:,区间(-,)上权函数(x)=,(3)Gauss-Hermite求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.,的Gauss型求积公式,称为Gauss-Hermite求积
16、公式,其Gauss点为Hermite多项式的零点.,Gauss-Hermite求积公式为,求积公式的误差为,6 数值微分,6.1 差商型数值微分,（1）向前差商数值微分公式,由Taylor展开式,可得误差,（2）向后差商数值微分公式,由Taylor展开式,可得误差,（3）中心差商数值微分公式,可得误差,（4）二阶中心差商数值微分公式,其误差为O(h2).,设Ln(x)是(x)以ax0 x1xnb为节点的n次Lagrange插值多项式,则取,当(x)Cn+1+ka,b时,有,6.1 插值型数值微分,特别,当k=1时有,如果仅限定在节点xi处求导,则有,如取n=1的线性插值L1(x)=(x-x0)
17、(x1)-(x-x1)(x0)/h,(其中h=x1-x0)可得数值微分的二点公式:,如取n=2的等距节点(x2-x1=x1-x0=h)抛物线插值:,则有,L2(x)=(x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2,可得数值微分的三点公式:,L2(x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2,L2(x)=2(x0)-4(x1)+2(x2)/2h2,L2(x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2,练习题,第213页 习题77-1,7-2,7-3,7-5,练习题,第213页 习题77-7,7-10,7-11,7-12,课间休息,更多资料请访问：,
