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1、1,2.1.3 数列极限存在的条件,2,定理2.9 单调有界数列必有极限,定理2.9的几何解释：,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 其结果或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,一 单调有界定理,1)单调递增有上界的数列存在极限;2)单调递减有下界的数列存在极限.,3,定理2.9(单调有界定理)单调有界数列必有极限,证,4,例如,由定理2.9 知,是单调减少且下界为1的数列;,是单调增加且上界为1的数列.,存在.,实际上,5,6,故an有上界.,由单调有界定理，数列an有极限，记为a.由于,对上式两边取极限得,7,例3 设S为有界数集.证明
2、若supS=a S，则存在严格单调递增数列xn S，使得,证,因为a是S的上确界，,故对任给的 0，,8,同理,证(补),因,且,多了最后一个正项，,从而 an 单增.,9,从而,对任意的n有,故an 有上界，,注(1)这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值用e=2.7182818284)来表示，即,存在.,10,定理2.10的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项随着n，m的越大，彼此越是接近，以至于n，m充分大时，任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说，收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.,柯西收敛准则的条件称为柯西条件.,二 柯西收敛准则,11,12,13,柯西收敛准则的等价叙述(补充):,14,连续复利问题(补充),15,连续复利在研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等实际问题中，都有十分广泛的应用.,这表明，e在经济学上可解释为：当利率为100%时，连续计算复利，1元在1年后将增至e(2.72)元.,该结论反映出“货币的时间价值”.,
