数字信号处理-第六章.ppt

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1、第 6 章IIR数字滤波器设计,Design of IIR Digital Filters,本章主要内容,数字滤波器的基本概念模拟滤波器设计巴特沃思、切比雪夫模拟滤波器设计模拟滤波器的频带变换数字滤波器（Digital Filter，DF）设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器用双线性变换法设计IIR数字滤波器IIR数字滤波器的频率变换,滤波的目的为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例滤波技术包括:滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数，滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的,6.1 数字滤波的基本概念

2、,图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号,数字滤波器输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系，滤除输入信号中某些频率成分或改变输入信号频谱中各频率分量的相对比例的器件具有某种特定频率特性的线性时不变系统,数字滤波器的特点精度高、稳定、灵活 不要求阻抗匹配、实现特殊的滤波器设计数字滤波器的任务寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性,1.数字滤波器的分类,经典滤波器（一般滤波器）：信号和干扰的频带互不重叠时采用现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）经典滤波器的基本功能高通、低通、带通、带阻,图6.1.2

3、理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性,数字滤波器分为：无限长单位脉冲响应滤波器（IIR DF）递归系统 有限长单位脉冲响应滤波器（FIR DF）非递归系统,2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示：H(ej)=|H(ej)|ej()|H(ej)|称为幅频特性函数,幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况;()称为相频特性函数;而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。,理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,3.滤波

4、器的设计方法,直接设计法在时域或频域直接设计数字滤波器间接设计法先根据指标要求设计对应的模拟滤波器再将模拟滤波器转换为数字滤波器本章介绍间接设计法,6.2 模拟滤波器设计,模拟滤波器设计,模拟滤波器的设计步骤确定指标选择滤波器的类型计算滤波器的阶数查表或计算滤波器的参数，确定其系统函数综合实现及调试滤波器的传输函数（频率响应特性）：选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。幅频特性体现了各频率成分在幅度上的衰减,而相频特性体现的是不同成分在时间上的延时。对输出波形有明确要求时，则需考虑线性相位问题。,6.2.1 模拟滤波器的设计指标,通带边界（截止）频率，阻带边界（截止）频率，3db通

5、带截止频率系统通带和阻带的误差要求通带特性要求：通带最大衰减，或通带峰值波纹，或通带波纹幅度，用分贝表示：,阻带特性要求：阻带最小衰减，或 阻带峰值波纹，或 阻带波纹幅度，用分贝表示：,损耗函数（衰减函数）：用来描述滤波器幅频响应特性3dB 通带截止频率c：损耗函数相对放大了小幅度特性：,一般幅频特性,损耗函数,两个附加参数,过渡比或选择性参数反应过渡带的性能，过渡带越窄，k 值趋近于 1对“低通滤波器”：偏离参数 越小、越大，越小，通带、阻带的纹波越小一般有,模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和

6、图表供设计人员使用。典型滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器：具有单调下降的幅频特性；切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带内有波动起伏，这可提高选择性；椭圆（Ellipse）滤波器：幅频特性在通带和阻带都有波动，其选择性最好；贝塞尔（Bessel）滤波器：具有较好的线性相位。,6.2.2 巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤波器设计,巴特沃斯低通滤波器N 阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：其中N 为滤波器的阶次，为 3dB通带截止频率。,巴特沃斯低通滤波器特点：在 点，的 n(n 2N)阶导数等于零，因此滤波器在 点具有最大平坦幅度；滤波器幅频响应随

7、 的增大而单调下降，因为幅度平方函数的导数小于零；损耗函数,滤波器的特性由 3dB 截止频率 和阶数 N 确定滤波器的给定指标为通带边界频率（或3dB通带截止频率）阻带边界频率通带最小幅度（或通带最大衰减）阻带最大波纹（或阻带最小衰减）,3dB截止频率与阶数如何确定？,滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降于是取整数 N：,若取，则满足通带指标，阻带指标有富裕若取，则满足阻带指标，通带指标有富裕,若滤波器的给定指标为通带最大衰减阻带最小衰减则先求然后确定阶数 与3dB通带截止频率,或,模拟滤波器系统函数的求取,已知，则巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数确定。定义幅度平方函数 Ha(s)模拟滤波器 系

8、统函数Ha(j)滤波器的频率响应|Ha(j)|滤波器的幅频响应,极点和零点总是“成对出现”，共轭对称；对称于S平面的实轴和虚轴，选用 的对称极、零点的任一半作为 的极、零点，则可得到。为了保证 的稳定性，应选用 在S平面左半平面的极点作为 的极点。零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延迟特性，则 应取左半面零点，若无特殊要求，则可将对称零点的任一半（为共轭对）取为 的零点。,确定的方法如下：由 得到象限对称的 S 平面函数；将 因式分解，得到各零极点，将左半平面极点归于。零点（或极点）都为偶次，应取一半（应为共轭对）零点归于 的零点。按照 与 的低频或高频特性的对

9、比就可以确定出增益常数。由求出的零点，极点及增益常数，则可完全确定系统函数,例 根据以下幅度平方函数 确定系统函数,解：,Step1:,Step2:,Step3:,将幅度平方函数转换成s域函数，（令 代入）有令分母为零，得 式中，k0，1，2，（2N1）,巴特沃斯低通滤波器的系统函数,可见，Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|s|=c的圆周上。（没有零点）例：N=3 阶BF振幅平方函数的极点分布，如图。,考虑到系统的稳定性，系统函数是由 S 平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：系统函数为：或 令，则有，归一化的三阶滤波器的

10、系统函数,巴特沃斯低通滤波器的系统函数,三种形式归一化函数（,）：,去归一化：,极点,分母多项式系数,分母因式,低通巴特沃斯滤波器设计步骤：,由 求滤波器阶次 N 和；由 N 查表，求出归一化系统函数 G(p)（或归一化极点）（pp 157）将 G(p)中的 p 代换为（去归一化），得实际滤波器传输函数 Ha(s)。,滤波器的设计步骤：,根据技术指标求出滤波器阶数N：,确定技术指标：,由,得：,同理：,令,则：,求出归一化系统函数：,或者由N，直接查表得,其中技术指标Wc给出或由下式求出：,其中极点：,去归一化,阻带指标有富裕,或,通带指标有富裕,例1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大

11、衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)确定阶数N。,(2)其极点为,归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511；-0.8090j0.5878；-1.0000,式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。，得到：,【将c代入，得到：,这里算得的s比给定的指标要小一些，可见实

12、际设计所得的阻带指标有富裕量。】将p=s/c代入G(p)中得到：,例2：已知通带边界频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，设计巴特沃斯低通滤波器。解：1）确定阶次 N：可得 N按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,查表求分母因式：系统函数,例：设计Butterworth低通滤波器，要求在频率低于0.2p rad/s的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p rad/s之后的阻带内，衰减大于15dB。,1）模拟滤波器的技术指标,a）确定参数,用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真,2）设计Butterworth模拟低通滤波器,b)求出极点（左半平面）,c)构造系统函数,c

13、)去归一化,6.2.3 切比雪夫（chebyshev）滤波器,切比雪夫型通带内等波纹，阻带内单调下降切比雪夫型通带内单调下降，阻带内等波纹巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的。巴特沃兹滤波器如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高。切比雪夫型滤波器的波纹在通带范围内是等幅起伏的，同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。,切比雪夫型的幅度平方函数：通带边界频率通带波纹参数（为小于1的正数）N 阶切比雪夫多项式：切比雪夫多项式的递推公式：,切比雪夫滤波器的振幅平方特性,通带内 变化范围 p，随，当=0时，N为偶数，min，N为

14、奇数，max，,阻带边界频率,N 大于等于上式的最小整数,滤波器的系统函数,实际应用中可以利于查表的方法求得系统函数：,1.按 求出滤波器阶次N；2.由N和（或p）查表得到归一化滤波器分母多项式：3.归一化切比雪夫低通滤波器函数为:4.去归一化，得到通带截止频率为p的低通滤波器函数：,切比雪夫型通带内单调下降，阻带内等波纹幅度平方函数：阶数 N 的计算,系统函数,椭圆滤波器（考尔滤波器）,幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；阶数固定，通带和阻带

15、纹波越小，过渡带越宽；,振幅平方函数为RN(,L)雅可比椭圆函数L 表示波纹性质的参量,下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数 图中和A的定义 与 切比雪夫滤波器 相同,模拟滤波器的比较,相同阶数的频率响应特性相同通带最大衰减、阻带最小衰减，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反；巴特沃思滤波器单调下降；切比雪夫滤波器通带等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降；切比雪夫滤波器阻带等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降；椭圆滤波器通带、阻带等波纹幅频特性，过渡带单调下降。贝塞尔（Bessel）滤波器在整个通带内

16、逼近线性相位特性，但过渡带特性较差。,6.2.8 频率变换与高通、带通及带阻滤波器的设计,高通滤波器性能指标,通带边界频率：阻带边界频率：通带纹波幅度：阻带纹波幅度：,通带边界频率：上边界频率下边界频率阻带边界频率：上边界频率下边界频率通带纹波幅度：阻带纹波幅度：,带通滤波器的性能指标,带阻滤波器的性能指标,通带边界频率：上边界频率下边界频率阻带边界频率：上边界频率下边界频率通带纹波幅度：阻带纹波幅度：,高通、带通及带阻滤波器的设计,已有：归一化低通原型滤波器通带边界频率为 1（归一化频率）的模拟滤波器高通、带通及带阻滤波器的设计过程：采用频率变换公式，将滤波器的技术指标转换成归一化低通滤波器

17、指标；利用经典滤波器的设计公式、图表，设计归一化低通滤波器的系统函数；通过频率变换公式，由 获得希望滤波器的系统函数。,符号规定：,归一化低通原型滤波器：归一化复变量，归一化频率通带边界频率（截止频率）期望模拟滤波器的系统函数：频率变换公式：于是,1.模拟高通滤波器的设计,低通原型到高通滤波器的映射变换：在虚轴上的映射关系简化为频率变换关系，高通滤波器边界频率映射关系：低通 高通,例 设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频率为fs=1kHz，通带最大衰减为0.1dB（fp处），阻带最小衰减 s=40dB。解：高通滤波器指标 1）确定相应低通原型滤波器的指标,2)设

18、计巴特沃斯低通滤波器。确定阶次N：可得N按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,归一化的 5 阶滤波器的系统函数3）高通滤波器的系统函数,另一设计途径：,模拟高通指标,模拟低通指标(通带截止频率与高通一致),模拟低通滤波器,设计归一化模拟低通滤波器G(p),模拟高通滤波器,MATLAB,wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%设置滤波器指标参数N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);%滤波器G(p)阶数N和3dB截止频率B,A=butter(N,wc,s);%计算低通滤波器G(p)系统函数分子分母多项式系数wph=2*pi*4000;%高通模拟滤波器通带边界频率BH,

19、AH=lp2hp(B,A,wph)%低通到高通转换,2.低通到带通的频率变换:,低通原型到带通滤波器的频率变换在虚轴上通带边界频率：上边界频率 下边界频率带通滤波器的带宽带通滤波器的中心频率,映射关系,减少，或增加增加，或减少,带通滤波器的系统函数,对带通滤波器，可以证明，应该有关系：若给定边界频率不满足条件，则可改变参数，提高指标，,例：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和7kHz，阻带上、下边界频率分别为2kHz和9kHz，通带内最大衰减p=1dB，阻带最小衰减s=20dB。解：1）带通滤波器指标 增大 2）低通原型滤波器指标,3）设计低通原型滤波器：4）求模拟带通

20、H(s)：,3.低通到带阻的频率变换:,低通原型到带阻滤波器的频率变换在虚轴上阻带边界频率：上边界频率 下边界频率带阻滤波器的带宽带阻滤波器的中心频率,映射关系,减少，或增加减少，或增加,带阻滤波器的系统函数,可以证明：如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标，,6.3 IIR数字滤波器设计,6.3 IIR数字滤波器设计,目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数间接法设计过程确定数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标设计过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器转换为数字滤波器指标转换,实际应用中，常希望用数字滤波器对模拟信号进行处理。如果给定的指标为模拟指标，则指标转换为：,过渡模拟滤波

21、器转换为数字滤波器的要求：,保证因果稳定性，Ha(s)的因果稳定性映射成 H(z)后保持不变，即 S 平面的左半平面 ReS0 应映射到 Z 平面的单位圆以内|z|1。H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即 S 平面的虚轴应映射到 Z 平面的单位圆 上。下面讨论两种常用的映射变换方法,6.3.1 脉冲响应不变法,基本思想使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性；从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha(t)的采样值，即,若模拟系统函数为（部分分式）则模拟滤波器的单位冲激响应采样Z变换可见，单极点,分母阶次高于分子阶次,可直接由 获得,因果稳

22、定性：,可以证明：S平面与Z平面之间的映射关系,S平面到Z平面的映射是多值映射。,=0 正实轴 零频=0T 辐射线 角度:,=0 实轴 零频=0 平行直线 频率:,结论,稳定性如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点 都在 S 左半平面，那么变换后 H(z)的极点也都在单位圆以内，因此数字滤波器保持因果稳定。频率响应特性的近似性,数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓！,无混叠失真的的条件：带限、满足采样定理，即混叠失真的影响相似性变差、无法满足阻带衰减指标脉冲响应不变法的优缺点：（1）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器

23、的频率特性；（2）由于数字域的脉冲响应模仿了模拟域的冲激响应，故时域特性逼近好；（3）模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。（4）由于频率混叠现象，故不适合高通、带阻滤波器的设计。,增益的补偿,共轭极点的合并,避免复数乘法其中,例：将一个具有如下传递函数 的模拟滤波器数字化。解：,数字滤波器的频率响应为:显然 与采样间隔 T（采样频率）有关,如图b,T 越小,衰减越大,混叠越小,当 Fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什么混叠呢?,模拟滤波器的频率响应为:,例 用脉冲响应不变法设计数字低通滤器，要求通带与阻带具有单调特性。指

24、标如下：,设计基本步骤：（1）将数字滤波器指标转换为过渡模拟滤波器指标：,（2）设计相应的过渡模拟滤波器：（根据单调特性，应选用巴特沃思滤波器）,（3）由过渡模拟滤波器Ha(s)转换为数字滤波器H(z)：,例（续）,注意：当给定数字滤波器技术指标时，数字滤波器的设计中，采样周期 T 的取值对频谱混叠程度影响很小（如例中T=1s 和 T=0.1s 的滤波器特性一致）。这是因为数字滤波器指标中有，转换到过渡模拟滤波器指标中，T 取不同值时一定有，模拟滤波器在1/2采样频率以上响应特性一定都很小（阻带），再变换到数字滤波器时引起的混叠都较小。,小结：,1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换

25、是线性的，与是线性关系。因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。,2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在 S 平面的左半平面，映射后得到的 H(z)也是稳定的，其极点在 Z 平面单位圆内。4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频响特性的周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性。如衰减特性很好的低通或带通滤波器，高频衰减越大，频响的混叠

26、效应越小；至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。因此不能用于设计高通和带阻滤波器。,6.3.2 双线性变换法设计IIR数字滤波器,克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法。双线性变换法的基本设计思想脉冲响应不变法：波形逼近双线性变换法：算法逼近。用线性常系数差分方程逼近线性常系数微分方程,微分方程到差分方程的近似微分方程近似差分方程,系统函数 有S 域到 Z 域的映射为双线性变换,脉冲响应不变法的主要缺点是频响交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换zesT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面

27、压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。,双线性变换法的映射关系,正切变换实现频率压缩：,式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了S平面上整个虚轴完全压缩到S1平面上虚轴的/T之间的转换。考虑到：令 s=j，s1=j1则有,再通过 转换到Z平面上，得到：,双线性变换的性能分析,稳定性映射关系,因果稳定,因果稳定,非线性频率压缩,非线性关系消除了频率混叠，但会带来幅度和相位失真。,频率响应的畸变,幅频特性 相频特性,双线性变换法设计数字低通滤

28、波器的步骤,1）确定数字低通技术指标：通带边界频率、通带衰减、阻带边界频率、阻带衰减；2）将数字低通指标转换成过渡模拟低通指标：不变 边界频率非线性频率预畸变校正：3）设计模拟低通滤波器；4）转换成数字低通滤波器：,T 的选择,在给定数字滤波器 技术指标情况下T 可以任意选如选 T2，则若模拟滤波器已给定，直接变换成数字滤波器时T 如何选？,例：用双线性变换法设计低通滤波器，通带阻带单调下降，指标要求如下：解：1）转换成过渡模拟低通指标（取 T2）2）设计过渡模拟滤波器，选用巴特沃思滤波器,2）设计过渡模拟滤波器，选用巴特沃思滤波器3）模拟滤波器函数,4）转换成数字低通滤波器：,6.3.3 高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计,数字域指标 模拟域指标 模拟域转换 模拟域设计 数字域,归一化模拟低通,数字低通,数字低通、高通、带通、带阻,数字域频带变换,双线性变换,冲激响应不变法,小结：,基于模拟滤波器，设计IIR数字滤波器模拟滤波器的设计模拟滤波器的指标典型模拟滤波器、设计公式、图表模拟滤波器到数字滤波器的转换脉冲响应不变法，时域逼近双线性变换法，频域逼近各自的问题非低通滤波器的设计模拟域变换数字域变换,