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1、2.3 数学归纳法(第一课时),情境1.观察下列各等式，你发现了什么？,问题情境,思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？,情境2.观察多米诺骨牌的游戏。,学生活动,思考（1）你能说出使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么吗?（2）你能类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想吗?,，,(1)第一张牌能倒下；,使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：,(2)假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k1张牌.,数学建构,类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为：,(1)证明当n=1时猜想成立,(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.,完成了这
2、两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。,相当于第一张牌能倒下,相当于使所有骨牌倒下的第2个条件,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,例 证明：,数学运用,递推基础,递推依据,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,这就是说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2)时命题成立，然后假设当n=k(kN,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.,一般地，对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,数学归纳法的两
3、个步骤：,()证明当nn0(如n0 1或2等)时，结论正确；,()假设nk(kN*且kn0)时结论正确，并应用此假设证明nk1时结论也正确,数学理论,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么当n=k+1时，,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立,练习1 用数学归纳法证明：,递推基础,递推依据,练习2 用数学归纳法证明,证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立,（2）假设当n=k时，等式成立，即,递推基础,递推依据,那么当n=k+1时，,用数学归纳法证明与正整
4、数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值（如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,“综合（1）、（2），”不可少！,注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,练习3,纠错!,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式
5、都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边=,假设n=k(kN*)时原等式成立，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边=,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；,(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。,(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来 解决“无限”的问题,(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 的重要方法,回顾反思,再见!,
