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1、第二章 数学模型基础(I),2.1 数学模型的定义和分类2.2 模型的建立2.3 模型参数的估值方法2.4 模型的验证与误差分析2.5 灵敏度分析,2.1 数学模型的定义和分类,一、数学模型的定义和特征定义：2.特征：抽象性 多变量模拟；方便考察;节省费用、研究周期短；局限性 人的认识能力有限；求解计算过程中的累积误差；系统结构与参数的不确定性（-适用区间）建立和应用数学模型的重要原则尊重客观、尊重实际,数学模型=公式+算法,简洁明晰；,抽象和简化,失真,二、数学模型的分类,从不同的角度可以对模型作各种形式的分类：按变量与时间的关系：动态模型和静态模型按变量之间的关系：线性模型和非线性模型按变
2、量的变化规律：确定性模型和随机模型按模型的用途：模拟模型和管理模型按模型参数的性质：集中参数模型和分布参数模型,一、基本方法与思想 1.演绎法-对系统的结构和性质的认识和理解 2.归纳法-对系统的输入和输出的观测数据,2.2 模型的建立,机理模型,经验模型,二.建立模型的基本要求,1.真实可靠 理论推导-严谨 数据资料-可靠（质量保证）检验合格2.精确易解 考虑主要变量，分析主要问题；改变变量的性质：不重要的变量-常量 连续变量-线性 离散变量-连续变量 改变变量的函数关系；注意特征尺度。3.模型中应有可控变量（可操纵变量）应该有一个或多个可控变量，否则不能付诸实用,精确,复杂,易解,简单,数
3、据的收集与分析模型结构的选择 白箱模型（机理模型）质量平衡建立微分方程 灰箱模型（半机理模型）黑箱模型（输入-输出模型，纯经验模型）工程实际中，应用较多的是灰箱模型模型参数的估计模型的检验和修正,二、建立模型的过程,观测数据组,观测数据组,模型结构选择,参数估计,检验和验证,模型应用,三.建模的几种方法,1.图解建模法2.质量平衡法3.因次分析法4.概率统计法5.数量化理论预测法6.灰色系统建模法,1.图解建模法,管道铺设情况,关键路法(Critical Path Method-CPM),3.因次分析法,自然界物理现象的规律，可以用完整的物理公式来表示；完整的物理公式不随所采用的单位不同而改变
4、公式的形式；完整的物理公式必须符合因次和谐的条件；因次和谐的条件为各个变量积的基本因此指数彼此相等。,因次分析的主要作用（1）帮助认识物理现象之内在规律，有助于判断模型定律之选择；（2）指导实验方向，减少分析实验资料的变量数目；（3）校核公式。,4.概率统计法,1）回归分析 一元线性回归 多元线性回归 非线性回归2）时间序列预测 滑动平均法 加权滑动平均法 指数平均法,5.数量化理论预测法,6.灰色系统建模法,2.3 模型参数的估值方法,图解法最小二乘法网格法(穷举法）最优化方法经验公式计算法,一.图解法估参,二.最小二乘法估参,三.网格法（穷举法）估参,四.最优化方法(梯度法)估参,2.4
5、模型的验证与误差分析,图形表示法：相关系数法：r相对误差法,模型验证所用的数据对于参数估值来说应该是独立的。一个模型是否满足使用要求，以模型的计算结果和实际观测数据之间的吻合程度误差来判断。,一、灵敏度分析的意义 模型的稳健性-Robustness（鲁棒性）观测值存在的误差与波动所估参数存在的误差与波动模拟计算的误差与波动 有助于设计低灵敏度系统；有助于确定合理的设计裕量。,2.5 灵敏度分析,系统的状态向量，由描述系统的各种状态组成，如河流中的 BOD、大气中的SO2浓度等；,系统的决策向量，由系统中的可以控制的变量组成，如污染源 排放的SO2、TSP的量；,系统的参数向量，由系统中的各种参
6、数组成，如污染物的衰减 速度常数、河流的弥散系数Dy、Dz等；,在环境系统的模拟、控制中，灵敏度的研究主要包括两个方面:一是状态与目标对参数的灵敏度,即参数的估计误差一定会对状态和目标产生影响，这种影响有多大?如何确定参数估计的必要精度?另一个是目标对决策的灵敏度 在污染控制规划中，决策变量（如水质标准的选择)的变化对目标（如费用）有很大的影响，如何确定这种影响的大小？如何确定合理的决策变量？,约束函数，符号S.t 表示系统的约束条件。,定义：在某取值点附近，状态或目标的变化率与参数变化率的比值研究内容：根据参数的变化范围估计目标或状态的灵敏度目标对状态的灵敏度,二.状态与目标对参数的灵敏度,考虑合理的设计容量为设计合理的灵敏度系统提供依据,1.单变量时的灵敏度,一个最优化模型通常由状态方程和目标函数构成,状态方程表达周围环境条件的约束:,当状态变量和参数的数目都为1,且决策变量u=u*保持不变，那么状态变量x和目标Z都可写为参数0的函数：x*=f(0),Z*=F(0),状态变量对参数的灵敏度,目标函数对参数的灵敏度,当0时，可忽略高阶微分项：,2.多变量时的灵敏度,3.目标对状态约束的灵敏度,
