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1、第2章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的常用运算,2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.4 逻辑函数及其表示方法,2.5 逻辑函数的公式化简法,2.6逻辑函数的卡诺图化简法,退出,事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。,逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有和两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并
2、不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。,逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。,2.1 概述,2.2.1 基本逻辑运算,与逻辑举例：设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，,2.2 基本逻辑运算,与运算只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。,1与运算,若用逻辑表达式来描述，则可写为,则得到真值表C,也称作逻辑状态表,功能表,2或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。,或逻辑举例：,若用逻辑表达
3、式来描述，则可写为：YA+B,3非运算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,非逻辑举例：,若用逻辑表达式来描述，则可写为：,逻辑符号,二、其他常用逻辑运算,2或非 由或运算和非运算组合而成。,1与非 由与运算和非运算组合而成。,3.与或非逻辑关系 与或非逻辑关系是与关系、或关系和非关系的合成，如图所示。,与或非逻辑关系,异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑表达式为：,4异或,5同或,同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个
4、变量取值不同时，逻辑函数值为0。同或的逻辑表达式为：,Y=AB,1.常量间的运算(1)00=0 10=0 11=1(2)0+0=0 1+0=1 1+1=1(3)=1=0(4)若A0,则A=1；若A1,则A=0,2.3 逻辑代数的基本定律及常用公式,逻辑代数的基本定律,2.基本定律(1)交换律：AB=BA A+B=B+A(2)结合律：ABC=A(BC)=(AB)C A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C(3)分配律：A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)(4)0、1律：0A=0 1A=A 1+A=1 0+A=A(5)互补律：A=0 A+=1,(6)重叠律：AA=A A+A=
5、A(7)还原律：=A(8)反演律(摩根定律)：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等幂率AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1率A+1=1,证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C),证明：,2.3.2 常用公式,分配率A+BC=(A+B)(A+C),0-1率A1=1,分配率A(B+C)=AB+AC,0-1率A+1=1,逻辑代数的基本规则,*逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的
6、字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。,*逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为,注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。,*逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数,它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。,若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表
7、完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。,证明等式：,例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,逻辑代数的基本规则,（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。,（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规
8、则。例如：,（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：,对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：,注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。,2.4 逻辑函数的建立及其表示方法,一、逻辑函数的建立,例1.6.1 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数
9、”的原则决定，试建立该逻辑函数。,第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。,解 第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量Y设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。,一般地说，若输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量Y的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：Y=f（A，B，C）,逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。,二、逻辑函数的表示方法,1、真
10、值表,真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。,真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。,例如：当A=B=1、或则B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。,2、逻辑表达式,逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。,函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。,3、卡诺图,卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。,逻
11、辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。,4、逻辑图,逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。,、波形图,波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。,三、逻辑函数表示方法之间的转换,1、由真值表到逻辑图的转换,真值表,逻辑表达式或卡诺图,1,1,最简与或表达式,化简,2,或,2,画逻辑图,3,最简与或表达式,B,A,A,C,AC,Y,B,A,A,C,Y,若用与非门实现，将最简与或表达式变换乘最简与非-与非表达式,3,2、由逻辑图到真值表的转换,逻辑图,
12、逻辑表达式,1,1,最简与或表达式,化简,2,2,从输入到输出逐级写出,最简与或表达式,3,真值表,3,一、逻辑函数的最小项及其性质,1、最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,2、最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
13、,四、逻辑函数的两种标准形式,3、最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项和称为最小项表达式，又称标准与或表达式。,解：,解：,=m7+m6+m3+m1,例将下列逻辑函数转换成最小项表达式：,例：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：,（）利用摩根定律将逻辑函数式变换为与或表达式,（）利用A+=1的形式作配项，将上式变成标准与或表达式,（）利用A+A=A的形式合并相同的最小项。,1逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式
14、，并且能互转换。,例如：,2.5逻辑函数的公式化简法,其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2逻辑函数的最简“与或表达式”的标准（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“”号最少。,2.5.2 逻辑函数的公式化简法,1、并项法,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,2、吸收法,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,（
15、）利用公式，消去多余的项。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,、消去冗余项法,例：化简函数,解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。,求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。,解：,例 化简逻辑函数：,（利用）,（利用A+AB=A）,（利用）,再举几个例子：,在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑数化为最简。,解：,例化简逻辑函数：,（利用摩根定律）,（利用）,（配项法）,（利用A+AB=A）,（利用A+AB=A）,（利用）,解法1：,解法2：,例化简逻辑函数：,由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。
16、代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。,利用AB+C+BC=AB+C,相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项,2.6 逻辑函数的卡诺图化简法,用卡诺图表示逻辑函数,一、相邻最小项,二、卡诺图的组成,卡诺图是将任意两个逻辑上相邻的最小项变成图中几何位置的相邻，做到逻辑相邻和几何相邻的一致。,（2）三变量卡诺图,（1）二变量卡诺图,（3）四变量卡诺图,仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在
17、几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。,（3）卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应小方格内最小项取值为1的变量取值,五变量卡诺图：,0,1,3,2,6,7,5,4,2、逻辑函数在卡诺图中的表示,（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,m1,m3,m4,m6,m7,m11,m14,m15,（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积
18、项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,变换为与或表达式,3、卡诺图的性质,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,小结：相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项，并消去个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
19、。,4、图形法化简的基本步骤,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,合并最小项,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。,最简与或表达式,冗余项,2,2,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,将非标准表达式直接在卡诺图上写出,1,1,1,1,1,具有无关项的逻辑函
20、数的卡诺图化简 约束项：逻辑函数中不会出现或不允许出现的变量取值组合对应的最小项叫约束项，约束项的值为0。任意项：逻辑函数中出现与否不会影响电路功能的变量取值组合对应的最小项叫任意项。其对应的输出可为0，也可为1。无关项：约束项与任意项统称为无关项。,在真值表和卡诺图中，无关项用符号“”或“”来表示。类似最小项的编号“mi”，我们用“di”来表示无关项。对具有无关项的逻辑函数来讲，无关项包不包含在逻辑函数表达式中都不会影响该函数原来的逻辑功能。因而在化简时，可利用无关项使逻辑函数得到进一步的化简。,例1：“三八”妇女节，某单位包了一场电影给女工，以示庆贺。要求只让在本单位工作的女职工进场看电影
21、。设计一个电路，判断一个人能否进场看电影。,分析,1、根据题意列功能表：,用A、B、C代表单位、性别、电影票，Z代表能否进场。,非：0；是：1；,男：0；女：1；,无票：0；有票：1：,不进场：0；进场：1。,2、列Z的真值表：,001、011、101不会出现，我们称为约束项。,由约束项加起来所构成的逻辑表达式，叫约束条件。,由最小项性质知道，只有对应变量取值组合出现时，其值才会为“1”，而约束项对应的是不会出现的变量取值组合，所以其值总等于0。,因约束项的值恒为0，所以约束条件是一个恒等于0的条件等式。,约束条件的表示方法：（1）在真值表、卡诺图中用“X”表示。（2）在逻辑表达式中用等于0的
22、条件等式表示。,001、011、101,3、画出Z的卡诺图：,化简得：,Z=C,为何能将“X”当成“1”而圈起来？,因为约束项恒等于0，所以可将其加入表达式中，而函数不会受到影响。,合并最小项时，可根据需要包含或取掉约束项。,含有约束项的函数化简的实际意义：,（1）不化简时：,Z=ABC,表示：电影院的看门人不仅要查票，而且还要辨认持票人的单位、性别。很麻烦。,（2）化简后：Z=C,表示：电影院的看门人只要查票就可以了。,含有约束项的函数化简求出的表达式，必须遵守约束条件，否则就有可能出错。,例2：判断一位十进制数是否为偶数。,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的
23、值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。,随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。,含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,含随意项的逻辑函数的化简,在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。,不利用随意项的化简结果为：,利用随意项的化简结果为：,例3：在十
24、字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。,解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值。,显而易见，在这个函数中，有5个最小项为无关项。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：L=m（）+d（）如本例函数可写成L=m（2）+d（0,3,5,6,7）,不考虑无关项时，表达式为：,注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。,考虑无关项时，表达式为:,1逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算。2描述逻辑关系的函数称为逻辑函。逻辑函数中的变量和函数值都只能取0或1两个值。3常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数表达式、逻辑图等，它们之间可以任意地相互转换。4.逻辑函数的化简,本章小结,
