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1、第一部分 常用数学思想方法专题二 数形结合的思想方法,目 录,专题概览（3）,模拟训练（6）,规律总结（20）,返回目录,专题概览,“数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对象.“数”是指数学研究中的数量关系，如，数字特征、点的坐标、等式或不等式等；“形”是数学研究中的图形形式，泛指表示量与之对应的图形、几何意义等.数形结合，是把同一数学问题在数量关系和空间形式这两个方面结合起来思考问题，由形思数，由数思形，互相联想，达到互相转化并使问题得以解决的数学思想.“数”和“形”是数学的两个最基本的研究对象，但在数学早期发展史上，人们对数与形的研究是相对独立和隔离的，从中发展出相对独立的代数学
2、和几何学，直到解析几何学的建立，通过坐标系才使数与形这两个对象完美地、有机地结合起,返回目录,专题概览,来，并促使数学科学迅速发展成近代的数学.著名数学家拉格朗日指出：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们互相吸取新鲜的活力，从此以后，就以快速的步伐走向完善.”一般意义下，将数与形结合在一起的背景是坐标系，就是对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论，用点的坐标表示为某些数量的关系式，然后用代数知识解决的方法，这种方法称为坐标法，也叫解析法.解析几何学的内容本身是坐标方法和数形结合思想的载体，数形结合思想和坐标法相辅相成.数
3、形结合思想在高考中占有非常重要的地位，近几年的高,返回目录,专题概览,考中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集合问题、立体几何问题等都用到数形结合的思想方法，这不仅是我们解题的一种思想方法，更重要的是我们进一步学习、研究数学的有力武器，应用数形结合思想方法，通常可以从以下几个方面入手：(1)函数以及函数图象；(2)曲线与方程；(3)可行域与目标函数的最值；(4)概念自身的几何意义；(5)不等式与函数图象.,返回目录,模拟训练,1.若实数x，y满足x2+y22x+4y=0,那么x2y的最大值是()C.9 D.10,解析 令t=x2y,即x2yt=0,点(x,y)在圆(x1)2+(y
4、+2)2=5上，当直线与圆相切时，t取最大值或最小值.,返回目录,模拟训练,令圆心C(1，2)到直线的距离为d，则 即5t=5.tmin=0,tmax=10.x2y的最大值为10，故选D.点评 令t=f(x,y)，从而构造出t的几何意义，这是解决某些代数式问题的常用方法.有许多的数学问题，从叙述过程看，属于代数问题，如果能把内容赋予几何意义，作出相关的解释，“以形助数”，就可从形的角度进行思考，这种意识需要在解题时有目的地训练.,答案 D,返回目录,模拟训练,分析 通过等号连接的代数式与超越式构成的方程不可解，不能独立求解每一个方程，把两个方程联系起来，思考解题方法.解析 两个方程都可以变形：
5、lgx=3x,10 x=3x，设f(x)=10 x,则f 1(x)=lgx，y=3x，且 x1，x2分别为两函数f(x)=10 x,f 1(x)=lgx的图象与 y=3x的图象交点的横坐标，,2.已知x1是方程x+lgx=3的一个根，x2是方程x+10 x=3的一个根，那么x1+x2=.,返回目录,模拟训练,图象关于y=x对称，点评 把两个方程的根综合分析，把根理解为图象交点的横坐标，运用数形结合思想思考问题，开辟了较好的解题途径，开阔了解题思路.,答案 3,返回目录,模拟训练,解析 由不等式的结构特征可判断该题应用数形结合的方法进行求解.令ysinx，y x，画出图象如右图：由图象可知在(0
6、,)内,ysinx与y x的大小不确定，故排除A，B.,3.若0 x，则下列命题中正确的是(),返回目录,再令ysinx，y,画出它们在图象如下图：由图象可知选D.点评 涉及大小关系的比较，常可构造函数，利用数形结合的思想方法进行求解.数形结合是数学解题中的一种常用方法，它可以使许多问题得到简化，考生应培养这种意识和能力.,答案 D,模拟训练,返回目录,模拟训练,4.已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数,当0 x3时,f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是(),返回目录,模拟训练,解析 显然，不能直接解不等式，注意到由已知用对称的方法可画全f(x)在(3,3)上的图象
7、，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如下图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分对应的“数”的区间为.所以，应选B.点评 f(x)在y轴左边的图象可由奇函数图象关于原点对称画出，也用了对称的思想方法.,答案 B,返回目录,模拟训练,解析 由，平方得x2+y2=36(x0)，方程表示的图形是圆心在原点，半径为6的圆的左半部分.,5.两个实数x，y满足关系式，求:()的取值范围；()2x+y的取值范围；()(x4)2+(y+3)2的取值范围.,返回目录,模拟训练,()表示半圆上的点与点A(6,12)连线的斜率的取值范围.如图，AB连线的斜率最大，从A向半圆作切线的斜率最小，可求出的范围是,
8、3.,返回目录,模拟训练,()设2x+y=b，则y=2x+b表示斜率为2的一组直线，b是这一组直线的截距，可求出范围是6,6.()表示半圆上的点到(4，3)的距离平方的取值范围，易知为25,121.点评 本题是数形结合的典型问题，通过利用斜率、截距、距离的平方的几何意义，采用数形结合的方法进行求解，既直观又简洁.,返回目录,模拟训练,解析 利用导数与函数的单调性求解.求函数f(x)的导数f(x)=ax22bx+2b.()由函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f(x)=0的两个根.所以f(x)=a(xx1)(xx2).,6.(2007全国卷)已知函数f(x)
9、=ax3bx2+(2b)x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且00；()若z=a+2b,求z的取值范围.,返回目录,模拟训练,如图，此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2b=0，,当x0，由xx10.()探求(a，b)在线性约束条件下，则问题易解.在题设下，0 x11x22等价于 化简得,a3b+2=0，4a5b+2=0.所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为：A()，B(2，2)，C(4，2).z在这三点的值依次为，6，8.所以z的取值范围为(，8).点评 本小题主要考查函数导数、单调性、极值等知识，考查数形结合的思想方法.求解第问，关键是根据不等式组得到aOb平面
10、上表示的区域，利用数形结合的思想方法进行求解.本题求解过程中，突出体现了数形结合思想方法的作用，以形助数不仅提供了解决问题的一种手段，而且会加深对数学实质的认识和理解.,返回目录,模拟训练,返回目录,规律总结,1.数形结合思想实际上包含“以形辅数”和“以数辅形”两个联系的侧面，即把问题的数量关系和图形性质结合起来考察的思想.数形结合的应用大致可分为两种情形：借助于数的精确性来阐述形的某些属性；或者借助形的几何直观性来阐明数与数之间的某种关系.2.数形结合思想常联想到的数学模型有:函数的图象;定比分点公式;斜率公式;两点间的距离公式;点到直线的距离公式;直线的夹角公式.3.数形结合思想常可以构造
11、的几何模型有：构造单位圆、韦恩图、利用数轴等解题;构造坐标平面,利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题；构造向量模型；构造三,返回目录,角形解题.4.在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：(1)由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础.(2)数形结合,贵在结合,要充分发挥两者的优势.“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.,规律总结,返回目录,祝您高考成功！,只有我答对 小明晚上对爸爸说：“今天，老师问了一个问题，只有我答对了。”爸爸说，老师问的是什么。小明：“你是小明么？”,
