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1、有效改进数学课堂教学,人民教育出版社 章建跃,一、有效教学的关键,理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。,例1：为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想原有数系的运算和运算律保持不变？,例2：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的意义。那么，难点在哪里？难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，描述向指定方向变化的情况，即：向指定
2、方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示这与学生的日常经验有一定的矛盾，需要一个“心理转换”：把“体重减少1kg”转换为“体重增长1kg”，需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解。,例3 在“二元一次方程组”的学习中，学生在认知上会有哪些问题？应如何化解？,例4 方程概念的本质是什么？,方程是含有未知数的等式重要吗？例如：ab=ba，是含有字母的恒等式，是不是方程？0 x=0，xx=0，x=1也是含有“未知数”的等式，值得研究吗？理解方程，其核心在于：引入方程概念的目的是为了求未知数；方程是一种关系，即在未知数和已知数之间产生的一种关系；方程是一种等式关系，借助等式的同解变换，
3、经过对消和还原，将未知数暴露出来。,方程的这些思想方法，是代数方法不同于算术方法的本质所在。方程使用的代数方法，和算术方法的思路是相反的。如果把未知数当做在河对岸的宝石，那么算术方法是摸着石头过河，一步步地接近宝石；代数的方程解法，则是把带钩子的绳子甩过河，勾住宝石（建立关系），然后一把一把地拉过河，最后得到宝石。,有效教学的基本标准,以自然的、水到渠成的知识发生发展过程为载体设计学生的数学活动过程，充分发挥学生学习的主动性、积极性，强调学生数学思维的展开、深度参与，强调数学概念、原理和思想方法的实质性理解，强调用数学解决问题的能力的落实。,二、数学教学存在的主要问题,数学教学“不自然”，强加
4、于人，对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响；缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整；,重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。,三、关于教学目标的思考,如何理解三维目标当前，教学目标的表达比较混乱。较多的老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。,例5 同位角、内错角、同旁内角,（一）知识与技能目标：1理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2能在基本的图形中识别
5、同位角、内错角、同旁内角；,（二）过程与方法目标：1经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；2从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；3体会分类分步、化归等数学思维方法；（三）情感与发展目标：1从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣；2从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；3培养学生独立思考、合作学习等能力。,对上述“目标”的评价,好的方面：已经注意了课堂教学不仅是教知识，关注到显性目标与隐性目标的不同。需要改进的：贴标签；没有反应内容的特点；不具体；对教学的定向作用不充分；表述混乱；特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。,“三维目标”的理解,“
6、三维目标”是课程目标，不是课堂教学目标！“三维目标”有内在统一性，都指向人的发展，是交融互进的：“知识和技能”只有在学生积极反思、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度和价值观”只有伴随着学生对学科知识技能的反思、批判与运用，才能得到提升；“过程和方法”，只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。,“三维目标”是课程目标的设计思路，是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在，而是要
7、具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。,课堂教学目标：知识、技能、方法为载体，在过程中渗透情感态度价值观教育。教学目标要聚焦在数学知识和技能、数学思维能力、理性精神上。,数学教学目标系统,教育方针学校一切学科的目标。课程目标宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；通常包含多方面的、更为具体的目标。目前采用“总体目标+学段目标”的方式来呈现。,单元目标中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。例如，“了解函数的概念”就是一个单元目标，因为函数的概念包含了函数的定义、图像、性质等众多内容。从这个单元目标到课堂教学目标，还需要教师的
8、工作。,课堂教学目标微观目标。专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。例如，“了解函数的概念”这一单元目标要具体化为：了解函数的定义和三种表示法，能用函数的概念作简单判断（是不是函数）。能分析简单实际问题中的函数关系。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。,正确理解内容基础上制订目标,例6“三线八角”的内容理解“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角图形的结构。对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，都是描述一对角的位置关系；核心：根据图
9、形结构特征进行分类正确识别的前提。,“三线八角”的教学目标,能以“结构特征”为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，并识别出同位角、内错角、同旁内角。在“三线八角”概念的引入过程中，体验研究几何图形的基本思路，如：两条直线三条直线，共顶点的角不共顶点的角；借助第三条直线研究平行线；等。,例7 三角形的有关概念,内容理解面临一个新的数学对象，应如何搭建“研究框架”？给学生展示一个研究的“基本套路”：（1）界定研究对象，即给定义（什么叫三角形）共同特征的概括（内涵的把握）；（2）对象的组成要素、记号（边、角、顶点等）；（3）
10、分类依据本质属性的异同点，选定分类标准（如，单一属性：角的大小，关系属性：边相等，还有联合属性：等腰直角三角形）；,（4）要素之间的关系边、角之间的关系；（5）相关要素及其关系高、中线、角平分线，外角等；（6）其他性质，推广和应用等。,教学目标,知道三角形的有关概念及三角形的分类，从中体会分类思想。掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。通过三角形有关概念的讨论过程，初步体会研究一个几何对象的“基本套路”，培养良好的数学思维习惯。,四、课堂教学的高立意与低起点,立意
11、不高许多教师的“匠气”太浓，“题型+技巧”的教学，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求。数学的“育人”功能如何体现？挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。关键：提高思想性。“技术”：加强“先行组织者”的使用。,例8 四边形的“先行组织者”,概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三角形的研究（角特殊直角三角形、边特殊等腰三角形，性质、判定）相似三角形（性质、判定）目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路”。,引导学生类比，思考“四
12、边形”研究的问题、线索和方法等：一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊性平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；,特殊的平行四边形：角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识；特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形；梯形,例9 乘法公式的理解及教学设计,多项式运算就
13、是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算运算法则；乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个模式。,乘法公式蕴含的思想方法,乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）c=a，d=b时为平方差公式；（2）c=a，d=b时为完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。,教学过程设计
14、,1复习与引入问题1 前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。,先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。,2公式的探究问题2(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+
15、bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。,问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。设计意图：帮助学生理解公式。3例题本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。,4公式的多元联系表示问题4
16、如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。,5小结（1）请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）乘法公式（特殊）公式特征分析与相关知识的联系”。（2）你能说说公式的结构特点吗？应用时应注意哪些问题？设计意图：注重知识的使用条件。,（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广“
17、次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4；或推广字母个数(a+b+c)2。虽不是“课标”的要求，但对学生思维发展是有好处的。,提高课堂教学的立意，是落实“教育中的科学发展观”，全面关注学生的发展。当前，社会功利化、各级政府的教育行政主管部门等以升学率为主要考核标准的不良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，而且为了分数可以不择手段竭泽而渔。,五、提高概念的教学水平,1当前概念教学的问题概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠有些老师不知如何教概念,危害,
18、以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空,2教概念的意义,李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！,3概念教学的核心,概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。,4理论依据,概括是人们掌握概念的直接前提；概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；概括是科学研究的关键机制；学习和应用知识的过程也是概括的过程；数学概括能力是数学学科能
19、力的基础，概括能力的训练是数学能力训练的基础；概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。,5.概念教学的基本环节,概念的引入借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的概括提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征；概念的明确与表示下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；,概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”纳入概念系统，建立与相关概念的联系。,例10 数轴概念的教学设计,（一）内容和内容分析内容：数轴的概念，用数
20、轴上的点表示数（点与数的一一对应）。内容分析：数形结合思想的产物。由此，数的概念和运算与位置、方向、距离相统一，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义，有助于数的概念的理解，还可以从中得到启发而提出新的问题或结论，如相反数、绝对值等。,数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴上的点一一对应（存在性、唯一性）。这样要求的意义：等价性，将问题转化后所得到的结论就是原问题的结过需要学生逐渐体会。在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的。,数轴的“三要素”与实数集的“三要素”,原点 0（原点和0的“基准”作用）单位长度 1（“单位”的“标准”作用）方向 符号（“方向”、“长
21、度”是标记“空间位置差别”的两个要素。数轴的方向“左”“右”，具有“相反意义”，对应于负数、正数。教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性。,（二）目标和目标解析,目标（1）能用数轴上的点表示有理数；（2）能借助具体实例，解释数轴三要素的作用。,目标解析：目标（1）属于“理解”层次，是指学生能画出数轴并找到表示给定数的点；目标（2）也属“理解”层次，是指学生能判断一种情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要素分别对应起来。从发展的角度看，学生还应体会到，“用点表示数”时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”，即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数轴上任意一
22、个点对应于唯一一个数。这里，为什么要这样定义，好处是什么，需要逐步体会。另外，还要逐步学会借助数轴研究问题，如与绝对值相关的问题等。,（三）教学问题诊断分析,学生第一次遇到用形表示数的问题，领会其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生活经验。在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例。教学难点：数轴“三要素”与数集中0，1以及数的符号的对应性。,(四)教学过程设计,1问题情境下的三次抽象问题1 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一
23、根电线杆，试画图表示这一情境师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示 学生画图后提问：（1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）（3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）设计意图：“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题这是实际问题的第一次数学抽象说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便,问题2 上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置
24、呢？学生画图表示后提问：（1）0代表什么？（基准点）（2）数的符号的实际意义是什么？（方向）（3）如图，在一条直线上，A，B的距离等于B，C的距离，B点用3表示，C点用7.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）E D O A B C 4.8 3 0 1 3 7.5（4）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系例如，4.8表示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆你能自己再举个例子吗？设计意图：继续以“三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础,问题3 大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学
25、知识？教师可以先解释0度的含义（冰水混合物的温度规定为0度温度的基准点）设计意图：借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用引导学生用“三要素”表达，为定义数轴概念提供又一个直观基础问题4 你能说说上述两个实例的共同点吗？设计意图：完成第三次概括，即进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础,2定义、辨析数轴概念请你带着下列问题阅读教科书：（1）画数轴的步骤是什么？（2）根据上述实例的经验，“原点”起什么作用？（“原点”是数轴的“基准”，表示0，是表示正数和负数的分界点）（3）你是怎么理解“选取适当的长度为单位长度”的？（与问题
26、的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些等）（4）数轴上，在原点的右边，离原点越远的点所表示的数；在原点的左边，离原点越远的点所表示的数（宏观看大小）设计意图：明晰概念，加深对数轴“三要素”的理解,3练习、巩固概念（1）课本练习1，2；（2）数轴上表示3的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？表示数-2的点在原点的哪一侧？与原点的距离是多少个单位长度？设a是一个正数，对表示a的点和表示a的点进行同样的讨论设计意图：练习（1）包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的有理数，使学生进一步巩固数轴的概念，并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示 练习（2）通过从特殊到一般的方法归
27、纳出数轴上不同位置（原点左右）点的特点培养学生的抽象概括（由具体的数到字母表示的数）能力,4小结、布置作业教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学了哪些主要内容？（2）数轴的“三要素”各指什么？它们各起什么作用？（3）你能举出引进数轴概念的一个好处吗？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心数轴“三要素”，感受通过数轴把数与形结合起来的好处布置作业：教科书练习第3题，习题1.2第2题,六、怎样才是抓“基础”,我国“双基”的优势正在丧失；现象：（1）数学教学题型教学刺激反应（记忆、模仿型学习）；（2）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学应
28、用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（3）过分关注“题型”与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。,如何改变？,要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性无知者无能；不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。应追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。,例11一元二次方程求根公式的概括,整体思路：沿着从特殊到一般、从具体到抽象的思路展开，即从熟悉的方程x2=p出发，经过不断推广而得到一般的ax2+bx+c=0；探究解法时，利用“配方法”，把“
29、新方程”化归为已解决的形式。,问题1 对于最简单的一元二次方程，例如，x2=25，你能根据平方根的意义直接得出它的解吗？设计意图：从最简单情形出发，指明求解依据。问题2 设p是一个常数，你能求出方程x2=p的解吗？设计意图：让学生经历从具体到抽象的过程。应放手让学生自主探索，对p0，p0和p0三种情况进行详细讨论。学生思考不全面的话，让同学之间纠正。,练习1 解方程（1）x2=5；（2）x2=a；（3）(x+3)2=5。问题3 因为方程(x+3)2=5的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，可以直接降次解方程。那么，能否将x2+6x+4=0转化为可直接降次的形式？设计意图：将x2+6x+4=
30、0左边配方，得(x+3)2=5，有利于学生想到配方法。问题4 如何解方程x2+px+q=0？设计意图：将问题3一般化，配方转化为(x+n)2=m的形式，让学生再次经历分类讨论过程。,练习2 解方程（1）x2+6x+5=0；（2）x2+8x+7=0；（3）2x2+6x8=0。问题5 方程2x2+6x8=0的二次项系数不是1，但我们通过方程两边除以2，将它转化成x2+3x4=0，再通过配方而得解。那么，方程ax2+bx+c=0(a0)如何求解呢？设计意图：让学生结合问题4，将方程转化为(x+n)2=p的形式，进而得到求根公式。说明：推导求根公式时，主要是“配方分类讨论”，应该让学生自己完成。,七、
31、探究式教学的天时地利人和,天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”；地利：教学内容是否适合于“探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；,例12 不适宜于探究的内容举例,概念名称，如“有理数”“无理数”“补角”“余角”等；定义，什么叫代数式、两条直线平行的定义等；数学符号，如判别式，全等，相似；某些复杂的定理，如勾股定理，只要理解意义，会证明，能应用；为什么用圆周角与圆心的相对位置对圆周角进行分类？,例13 适宜探究的内容举例,实数运算律从具体到抽象，归纳得出；乘法公式，平方差公式、完全平方公式等；各种几何性质原则上都是可以探究的；
32、,例14 矩形的判定 一位教师的设计,课前热身1怎样的四边形是平行四边形？2平行四边形有哪些性质？3如何判定一个四边形是平行四边形？有几种判定方法？,温故知新1矩形的定义是什么？2矩形具有平行四边形的一切性质。除此而外，矩形还有哪些特殊性质呢?,情境引课问题1：李芳同学用画“边-直角、边-直角、边-直角、边”这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？,探究新知,从“角”的角度探究1有一个角是直角的 四边形一定是矩形吗？2有两个角是直角的四边形一定是矩形吗？3有三个角是直角的 四边形一定是矩形吗？,从“对角线”的角度探究问题2：木工师傅用皮尺度量窗户的对角线的长是否相等，以确保
33、图形是矩形。你想知道其中的道理吗？思考2(1)对角线相等的四边形是矩形吗?(2)对角线相等的平行四边形是矩形吗?,归纳新知,目前，我们已经学习了矩形的几种判定方法？,问题分析,“课前热身”、“温故知新”两个环节的作用不清晰；“五个探究”不自然。,关注推理能力的设计,从数学知识的内在逻辑发展安排探究活动学习的基础：平行四边形的研究经验，平行四边形的性质与判定的关系（性质与判定都有互逆关系！），矩形的性质。,教学过程,“温故知新”：矩形与平行四边形的关系是什么？平行四边形的“判定”与“性质”有什么关系？我们是如何研究平行四边形的“判定”的？矩形有哪些性质？,探索新知,类比平行四边形的“判定”的研究
34、过程，你能提出矩形的“判定”的猜想吗？你能证明自己的猜想吗？,当前存在的问题,没有关注思维的自然，逻辑推理能力的培养，停留在“实验猜想证明应用”的模式上。过度依赖实验，降低了平面几何的教育价值。该推理时不推理，该证明时不证明从一般到特殊、逆命题等，都“该证明”。,九、怎样才是“数学思维的教学”,1树立正确的学生观学生的主动参与是根本保证。2让学生真正“动起来”书上得来终觉浅，绝知此事须躬行。3精心选择和使用例子一个好例子胜过一千次说教。4关注课堂中生成的教学资源从学生的切身体验中引发更深层次的思考。5把概括的机会让给学生。,例15 锐角三角函数概念概括过程的设计,目的：解直角三角形课题的引入：
35、从实际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。定性考察：从直角三角形全等的判定可知，Rt中，除直角外，任意给两个条件（至少一个是边），其余唯一确定。,“定量化”的过程设计,从最熟悉的直角三角形开始：无论 Rt的 大小如何，30所对的边是斜边的一半（本质特征）。思考：由这个比值能干什么？当A=30时，已知斜边可求A的对边，反之也可。及时巩固：等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？由这个比值能干什么？推广到一般：给定锐角A，A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？（注意引导学生理解条件什么不变、什么变）,下
36、定义，用符号表示。辨析定义：（1）A为RtABC的锐角，ABC的大小可以变化，但A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（2）符号sinA的理解一个由A唯一确定的数，例如sin30=0.5；（3）sinA的取值范围；等。概念的应用：给直角三角形的边，求正弦值。掌握用定义解题的基本规范。,教材的编写意图,如何提出数学问题引导学生思考已经研究过什么，还可以研究什么；从定性到定量数学的普遍方法；从学生最熟悉的问题开始；从另一个角度看问题旧问题新解释，数学发展的一种思路；从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法；使学生经历概念形成的完整过程。,结束语,教育改革需要一定的理想化色彩；教育包括“生命的教育”和“生活的教育”，不要忘记“教学生做人、做事”的双重职责；教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，思想到了极致则开悟；能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；为人师表默而识之，学而不厌，诲人不倦。,敬请批评指正谢谢,
