桁架内力的计算.ppt

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1、工程力学（C）,北京理工大学理学院力学系 韩斌,(18),7.2 桁架内力的计算,7.2.1 桁架的特点及内力 1.桁架的特点（1）全部为直杆，各直杆两端铰接组成结构，构成平面桁架或空间桁架。（2）各杆不计自重，且全部载荷（主动力）均作用在节点处。（3）各杆均为二力杆（拉杆或压杆）,2.桁架的内力,研究桁架结构中的任意二力杆，如AB，有:,假想在O处将AB切断，,则BO对AO的作用为一分布力系，,该力系可简化为一个力,同理，OB段受AO的作用力为,根据AO或OB的平衡方程有：,或 称为二力杆的内力。可用代数值FO表示。,AB杆内力FAB为正,CD杆内力FCD为负,3.桁架内力分析步骤,（1）判

2、断桁架是否为静定结构,(2)先从桁架中找出零杆和等轴力杆,零杆内力为零的二力杆,等轴力杆内力相同的二力杆,（3）利用节点法或截面法求解杆的内力,可判断出零杆和等轴力杆的情况：,0杆,0杆,0杆,0杆,求桁架的内力通常有两种方法：,节点法和截面法。,注意：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时零杆不起作用，但不可将零杆去掉。,7.2.2 节点法,因各杆间通过销钉联接，取销钉为研究对象，外力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。,以节点D为例：,当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的方向由节点指向外，沿杆的方向作用。,从桁架中取出销钉D为分离体，画出受力图。,每

3、个节点可建立2个平衡方程，对有n个节点、S根杆的静定桁架，共有2n个独立方程，此外，对桁架整体，共有S+3个未知力(S个未知内力、3个对桁架整体的未知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方程一步步求得。,节点法的求解步骤：,（1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。,（2）依次对各节点取分离体列平衡方程。,（3）首先取只有二杆的节点，再依次取只有二个 未知力的节点。,（4）各杆内力统一设为拉力（即各 节点处力矢从节点向外）。,例 题 7,7 力系的平衡,例题,判断结构中的零杆和等轴力杆。,例 题 7,7 力系的平衡,例题,解：,此桁架整体为静定结构（简支），桁架本身S=21，n=12

4、,故 2n-3=24-3=21=S，为静定桁架。,对整体列平衡方程：,例 题 7,7 力系的平衡,例题,0,0,0,0,0,0,判断零杆和等轴力杆：,=,=，,例 题 8,7 力系的平衡,例题,桁架结构受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a，求各杆的内力。,例 题 8,7 力系的平衡,例题,解：,结构整体对外约束静定；桁架 S=9,n=6,2n-3=12-3=9=S,为静定桁架；,1.对整体取分离体,ED杆为零杆，AE与EC为等轴力杆。,例 题 8,7 力系的平衡,例题,2.取节点B,(),已求得：,例 题 8,7 力系的平衡,例题,3.取节点G,已求得：,例 题 8,

5、7 力系的平衡,例题,4.取节点A,例 题 8,7 力系的平衡,例题,5.取节点C,已求得：,6.取节点D，可列平衡方程作为验证。,例 题 9,7 力系的平衡,例题,图示连续梁，载荷和尺寸如图，各杆的自重不计，A端为固定端，B、C、D、G、F均为光滑铰链。求固定端A的约束力和三根支撑杆GD、FG、BG的内力。,例 题 9,7 力系的平衡,例题,解：,此结构为混合结构。,C处，,未知内力：，。,1.取CE杆为研究对象,例 题 9,7 力系的平衡,例题,2.取节点G为研究对象,已求得,例 题 9,7 力系的平衡,例题,3.取整体为研究对象,已求得,7.2.3 截面法,适用于求结构中某一杆的内力。,

6、用一假想截面（可为平面或曲面）将桁架的一部分杆切开，使桁架整体分为两部分；取其中任意一部分为研究对象列出平衡方程，切断的杆中内力以未知力形式出现在方程中。,截面法的求解步骤：,（1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。,（2）根据所求杆的内力，适当选择截面将桁架整体切开为两部分，取其中一部分为研究对象，切断的杆的内力为未知力。,（3）列出适当形式的平衡方程，求出未知力。,（1）对受平面力系作用的平面桁架仅有3个独立方程，故选择切开的截面时，应注意切断的杆一般不能多于3根。,（2）若切断的杆多于3根，则必须满足：,a.除一个待求未知力外，其余未知力汇交于一点。,b.除待求杆外，其余被切断的杆

7、都平行。,（3）截面切开时不应切在节点上。,（4）求解时，先找出全部零杆，并尽可能利用矩形式的平衡方程。,例 题 10,7 力系的平衡,例题,桁架结构受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a，求CD杆的内力。,例 题 10,7 力系的平衡,例题,解：,1.判断零杆,ED杆为零杆。,2.以m-m截面切开，取右半部分：,0,例 题 11,7 力系的平衡,例题,解:(1)求支座约束力,以整体为研究对象：,图示桁架各杆长均为1m，P1=10kN,P2=7kN,求杆EG的内力。,(2)用截面m-m切开桁架，取右半部分为分离体：,对平面一般力系，有三个独立的平衡方程。,当切断杆的数目

8、不超过三根时，可将切断杆的内力求出。,(受拉),例 题 11,7 力系的平衡,例题,即杆EG的内力为9.82kN(拉力)。,例 题 11,7 力系的平衡,例题,(受压),(受拉),例 题 12,7 力系的平衡,例题,桁架结构受力如图，试求其中杆的内力。,例 题 12,7 力系的平衡,例题,解：,1.受力分析：,此桁架S=,n=,27,15,2n-3=215-3=27=S,为静定桁架。,2.用m-m截面将桁架切开，取其上半部分为分离体：,例 题 12,7 力系的平衡,例题,3.对分离体列平衡方程,由于除杆外，其余切断的杆均为铅垂方向，故可列：,（拉力）,例 题 13,7 力系的平衡,例题,图示平

9、面桁架，已知：P1=P,P2=2P,P3=3P,求桁架中的杆24，杆25，杆35的内力。,例 题 13,7 力系的平衡,例题,解：,1.受力分析：,此为静定桁架，,其中杆23，杆67为零杆。,2.求支座约束力,例 题 13,7 力系的平衡,例题,3.沿I-I截面切开，取左半部分为分离体：,（压力）,例 题 13,7 力系的平衡,例题,（拉力）,（拉力）,例 题 14,7 力系的平衡,例题,半径为R 的均质薄壁无底圆筒，放置于光滑水平面上，筒内装有两个重 P，半径为 r 的均质球，已知 R/2 r R,不计摩擦和筒厚，试求系统能够平衡的圆筒重量。,例 题 14,7 力系的平衡,例题,解：,1.受

10、力分析,分别以两球和圆筒为分离体画出受力图。,圆筒受地面的支持力为沿筒壁周边的分布力，其合力为,例 题 14,7 力系的平衡,例题,2.以两圆球为对象,例 题 14,7 力系的平衡,例题,3.以圆筒为对象,和 组成一力偶，故 和 也必组成一力偶。,显然，应有,由,7.3 考虑摩擦的平衡问题,1.摩擦,摩擦力的存在性实例：,实际工程问题一般都存在摩擦。但在有些工程问题中，当摩擦阻力不大或摩擦并不起主要作用时，可忽略不计摩擦的作用。,实际接触面并非理想光滑，必须足够大，才可推动重物滑动。故一定有摩擦力 存在。,摩擦的存在既有利也有弊：利用于传动机械、启动或制动。弊消耗能量，磨损零件，降低精度和机械

11、效率。摩擦的分类：,滑动摩擦滚动摩擦,静摩擦动摩擦,干摩擦湿摩擦,仅有相对运动趋势时产生的,已有相对运动时产生的,接触表面凸凹不平引起的,物体接触面之间有液体成膜的,fs-静滑动摩擦因数(无量纲),可由工程手册中查出。,静摩擦力是当物体在相互接触的位置有相对滑动趋势(但并未发生相对滑动)时，约束作用于物体的切向反力。其方向与滑动趋势方向相反，其大小,静摩擦力的最大值 可由实验测得，设 为约束对物体的法向约束力，则,2.静摩擦力（静滑动摩擦力）,静滑动摩擦因数 fS 与材料、接触面光滑度、温度、湿度有关，与接触面积大小无关。,（1）来源接触面非光滑,（2）的方向与物体相对接触面的运动趋势相反,物

12、体受到的静摩擦力 的特点：,物体处于平衡时：摩擦力参与平衡，但,3.静摩擦因数的几何意义摩擦角,静平衡时全约束力 的作用线一定在摩擦角内,摩擦角大小仅由摩擦因数决定,利用摩擦角判断受力物体是否平衡自锁现象,平衡，自锁现象,若某接触面上的物体所受主动力的合力作用线在摩擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体总是平衡的。自锁现象,不平衡，非自锁现象,若某接触面上的物体所受主动力的合力作用线在摩擦角的范围之外，则不论此力有多小（只要不等于零），物体总不能平衡。,例如：斜面上的重物,临界平衡,当物体相对于约束表面有相对滑动速度时，摩擦力为动(滑动)摩擦力。,4.动滑动摩擦力,F=f FN(7.8),f

13、近似是常数，称为动(滑动)摩擦因数，通常,思考题,若主动力 的作用线向上移，结果如何？,5、滚动摩阻力偶,考虑圆轮置于不光滑的水平路面上，,设轮子与路面均是刚性的(不变形)，A处为点接触（理想状态！）。,由,因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。,时，轮子会连滚带滑。,而实际情况：F 需大于某一值时，轮子才会滚动。因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 存在，而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为滚动摩阻。,原因：轮子与地面实际上都会发生变形，形成面接触，因此地面对轮子的约束力为一分布力系。,由平衡条件：，,由于 阻碍轮子的滚动，称为滚(动摩)阻力偶。,组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为,滚阻力偶与

14、主动力偶大小相等，方向相反，随主动力偶的增大而增大。但滚阻力偶不可能无限制的增大。其力偶矩的最大值为：,称为滚动摩阻系数。,轮子不发生滚动的物理条件：,与物体接触面的变形相关，而与接触面的粗糙程度无关。材料越硬，接触面变形越小，也就越小。,的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的力偶矩Fh大于，轮子即可滚动。,的几何意义：使法向约束力FN向前进方向平移的最大距离。,讨论,轮子在水平方向的运动状态滚动与滑动,由轮子的平衡条件：,物理条件：,故轮子平衡时所受的主动力满足：及,若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：,A点无滑动,轮子不滚动,当 时，轮子纯滚动。,当 时，轮子连滚带滑。,若材料接触面

15、的静摩擦因数与摩阻系数满足：,当 时，轮子纯滑动。,当 时，轮子连滚带滑。,6.考虑摩擦的平衡问题的分析要点,（1）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。,（2）静摩擦力方向的判断：,a.画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。,c.同一物体在多个接触点处存在摩擦的，注意判断运动趋势时各接触点的滑动趋势之间的相容性。,（3）静摩擦力的大小：,物体处于平衡状态时，摩擦力Ff 大小未知，且,物体处于临界平衡状态时，摩擦力不独立。,带摩擦圆轮的滚动问题：,设轮的重量为W,半径为r，不计重量的AB杆长 l,轮与杆及轮与地面的摩擦因数分别为fSC,fS

16、D，试求：保证轮子静止时fSC 和 fSD 应满足的条件？,例 题 15,7 力系的平衡,例题,(1)对轮子列平衡方程：,解：以轮为对象，,轮有向右运动的趋势。,例 题 15,7 力系的平衡,例题,故C、D处的摩擦力方向如图。,例 题 15,7 力系的平衡,例题,(2)物理条件：,例 题 15,7 力系的平衡,例题,(3)以杆AB为对象：,例 题 15,7 力系的平衡,例题,例 题 15,7 力系的平衡,例题,（1）C，D处摩擦因数均满足条件时轮子才能保持静止。,结论,（2）C处是否打滑（摩擦因数的条件），只与角有关，与力F、轮子重量W无关。,（4）仅C处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚

17、动，而C处连滚带滑。,（5）若仅D处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆AB纯滚动，而D处连滚带滑。,（6）若C、D处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚带滑向右运动。,例 题 16,7 力系的平衡,例题,重W，长2l 的细长均质杆，放于直角槽内，已知杆与槽壁间的摩擦角为m，求平衡时杆与左槽壁的夹角。,例 题 16,7 力系的平衡,例题,解：,1.受力分析,题中所求的平衡状态，并不一定是临界平衡，但临界状态是其平衡范围的边界。,例 题 16,7 力系的平衡,例题,例 题 16,7 力系的平衡,例题,、联立求出 后代入得：,3.当杆处于A点下滑、B点上滑的临界状态时，,同理，列出平衡方程 和物理条件 可得：,故杆平衡的条件为,