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1、1,第五章 梁弯曲时的位移,梁的挠曲线近似微分方程及其积分,按叠加原理计算梁的挠度和转角,梁的刚度校核 提高梁刚度的措施,梁的位移 挠度及转角,梁内的弯曲应变能,返回,2,一、基本概念,1.取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴，横截面的铅垂对称轴为 y 轴，x y 平面为纵向对称平面,5-1 梁的位移 挠度及转角,3,（1）挠度（w）:横截面形心 C(即轴线上的点)在垂直于 x 轴 方向的线位移，称为该截面的挠度。,2.度量梁变形后横截面位移的两个基本量,4,（2）转角（）：横截面对其原来位置的角位移,称为该 截面的转角。,y,A,B,x,5,二、挠曲线：梁变形后的轴线 称为挠曲线
2、。,挠曲线方程为,式中，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。,挠曲线,y,A,B,x,6,三、挠度与转角的关系：,挠曲线,y,A,B,x,7,四、挠度和转角符号的规定,挠度：向下为正，向上为负。,转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。,挠曲线,y,A,B,x,8,横截面形心铅垂方向的位移挠度 w,横截面相对于初始位置转过的角度转角,梁的横截面产生两种主要位移：,简支梁弯曲时的总体变形,微段变形累加的结果,9,五、梁的位移分析的工程意义,1.齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。,变形带来的弊端：
3、,10,五、梁的位移分析的工程意义,当变形足够大时，可以有效接通电路；,当变形不够大时，不能有效接通电路；,2.继电器中的簧片,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,11,横力弯曲时,M 和 都是 x 的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则,一、梁的挠曲线近似微分方程,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,12,由几何关系知,平面曲线的曲率可写作,13,在规定的坐标系中，x 轴水平向右为正，y 轴竖直向下为正。,w 0,M 0,w 0,因此,M 与 w 的正负号相反,曲线向下凸 时：,曲线向上凸 时:,14,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,近似原因:(1
4、)略去了剪力的影响;(2)略去了 w2 项。,与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,15,再积分一次,得挠度方程,上式积分一次得转角方程,若为等截面直梁,其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成,16,二、用积分法求弯曲变形,挠度方程：,转角方程：,式中：积分常数 C1、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和变形 连续性条件 来确定。,17,在简支梁中，左右两铰支座处的挠度 wA 和 wB 都应等于零。,在悬臂梁 中，固定端处的挠度 w和转角 A 都应等于零。,边界条件,wA=0,wB=0,wA=0,A=0,18,连续性条件,在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。,19,例题1：确
5、定梁的连续条件,A,B,C,D,F,G,20,例题2：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁,在自由端受一集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max.,21,弯矩方程为,解：,挠曲线的近似微分方程为,22,对挠曲线近似微分方程进行积分,23,边界条件为:,C1=0 C2=0,将边界条件代入(3)(4)两式中,可得,24,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,C1=0 C2=0,25,26,例题3：图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max.,27,解
6、:由对称性可知，梁的两个支座力为,28,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,29,30,边界条件为:,31,将边界条件代入(c),(d)两式得,梁的转角方程和挠度方程分别为,32,在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，,33,在梁跨中点 l/2 处有 最大挠度值,34,例题4：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。,35,解:梁的两个支反力为,36,两段梁的弯矩方程分别为,37,两段梁的挠曲线方程分别为,38,代入方程可解得:,39,将 x=0 和 x=l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
7、,当 a b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大,40,41,当 a b时，x1 a 最大挠度确实在第一段梁中,42,梁中点 C 处的挠度为,结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无 拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.,43,44,例题5：计算等强度梁的最大挠度,45,解：,I 为固定端截面的惯性矩,46,47,48,边界条件：,49,转角方程：,挠度方程：,50,将 x=0 代入上式得自由端的转角，挠度,51,5-3 按叠加法求计算梁的挠度和转角,叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或
8、分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独 作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所 引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向),其 转角是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和,这就是叠加原理。,52,例题6：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角 A,B。,53,解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。b,c 所示,(b),B,B,(C),54,(b),B,B,(C),55,例题:试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角 A,B。,56,解：可视
9、为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。,57,（1）正对称荷载作用下,58,（2）反对称荷载作用下,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为 l/2 的简支梁,在跨中C截面处，挠度 fc 等于零，但 转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零,59,C,A,B,60,将相应的位移进行叠加,即得,61,62,解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将AB 段看成 B 端固定的悬臂梁，BC 段看成简支梁。,63,B 截面两侧的相互作用力为：,2qa,64,就是外伸梁 AC 的 B，fD,简支梁 BC 的受力情况与外伸梁 AC 的 BC 段的受力情况相同,由简支梁 BC 求得的B，wD,65,简支梁
10、 BC 的变形就是MB 和均布荷载 q 分别引起变形的叠加。,66,(1)求 B，wD,67,由叠加原理得,68,(2)求 wA,由于简支梁上 B 截面的转动，代动 AB 段一起作刚体运动，使 A 端产生挠度 w1,悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，使 A 端产生挠度 w2,2qa,2qa,69,因此，A端的总挠度应为,由附录 1V 查得,2qa,2qa,70,5-5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施,一、梁的刚度校核,式中：wmax 为梁上最大的挠度；l 为梁的跨长；w/l 为 梁的许可挠度与的跨长比值。,71,梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关外，还取决于以下三个因素：,材料
11、梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；,截面 梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；,跨长 梁的位移与跨长 l 的 n 次幂成正比。,二、提高梁的刚度的措施,72,1.增大梁的抗弯刚度 EI,工程中常采用工字形,箱形截面,为了减小梁的位移，可采取下列措施,2.调整跨长和改变结构,设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。,73,桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。,A,B,q,74,A,B,q,同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的 AB 跨产生向上的挠度，从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。,增
12、加梁的支座也可以减小梁的挠度。,75,5-6 梁内的弯曲应变能,一、梁在纯弯曲时的应变能,梁在纯弯曲时，各横截面的弯矩 M 都等于外力偶矩 m，在线弹性范围内有,曲率：,圆心角：,76,与 m 成线性关系,外力偶所做的功,纯弯曲时梁的应变能,77,二、横力弯曲时梁的应变能,横力弯曲时梁的应变能包含两部分：弯曲应变能 和 剪切应变能。,在工程中常用的梁，剪切应变能比弯曲应变能小的多，因而剪切应变能不计。,取一微梁段,因弯矩的增量是一阶无穷小，可略去不计。,78,所以这段梁的应变能为,全梁的应变能为,式中：M(x)为梁任横截面上的弯矩表达式。,79,由于,于是,以上应变能的公式只有当梁在线弹性范围
13、内工作时才适用。,80,例题：弯曲刚度为 EI 的梁悬臂受一集中荷载 F 作用。试求梁内的应变能 Ve，并利用功能原理求 A 端的挠度 wA。,wA,81,解：由功能原理，荷载作功等于梁内的应变能,荷载作功为,wA,82,wA,83,A 端的挠度,挠度与力的指向一致，即向上。,wA,84,思考题:,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,(2)由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。,(1)由M 的方向确定轴线的凹凸性;,思考题1:,思考题2:,85,思考题1答案选择：,86,思考题2：,87,作 业,第一次：5-3,5-15(a)第二次：5-11,5-22，5-24,
