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1、第二章 特征问题的有关特性,第 二 章,特征问题的有关特性,广义特征问题,二次特征问题,标准特征问题,1、特征问题及特征解的性质2、Rayleigh商（求近似特征值）及其特性3、特征值与约束有关的特征极大极小定理用来估算高价特征值(无需知道前面特征向量)分隔定理说明不同约束系统特征值关系。,第 二 章,工程特征问题的有关特性,本章主要介绍：,4、Stum定理大型程序中实际应用检查漏根（在给定区间内）,2-1 矩阵特征问题及其基本性质*,一、矩阵特征问题定义,设,则,标准特征问题,是,的对应于特征值的特征向量,广义特征问题（工程问题）,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,特征对：,特征值特征向
2、量,特征多项式：（特征问题非零解条件）,若,标准：广义：,是的复系数多项式（或实系数）,根据代数基本定理，上述多项式在复数域上总有 n 个根存在。一般而言，即使A是实的矩阵，其 n 个根可能是：复数或重根。,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,这 n 个根按模从小到大排列，即,二、特征问题的基本性质*,1、一个特征向量只对应于一个特征值，但一个特征值却可以有多个特征向量，而且它们的线性组合也是的特征向量，即特征向量的个数是无限的，但是，线性无关的特征向量个数却是有限的。,一般而言，对应于特征值的线性无关的向量个数与的重数及矩阵A的性态在关：,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,（请看下面几
3、种情况）,当 是单（重）根时，有且仅有一个线性无关 的向量与 对应；,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,因为工程许多问题，A 具有良好性态。,一般来说，虽然A有 n 个特征值，但却未必有 n 个线性无关的特征向量。而当A具有良好的性质时，A具有 n 个线性无关的特征向量，此时称A具有完全特征向量系。,当 是k重根时（k1），属于 的线性无关的特征向量个数 r 却未必有k个，即 rk；,2、,的根可能为复数、共轭复数,、重根。,特征多项式,注意：当A是一般实矩阵时，特征多项式是实系数 n 次多项式，而它的根也可能是实数、复数，如果是复根，将共轭成对出现。且特征向量也可能为复共轭向量。,3、当
4、矩阵A相似变换为B后，即BA，B与A具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值，但特征向量不相同！,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,（下面简单证明）,证：设S为变换矩阵，且,非奇异矩阵，,用S进行相似变换,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,存在！,即,（行列式性质！）,可见：B与A的行列式（特征多项式）相 同！所以具有相同的特征值！,设x是A的对应于的特征向量,则,对上式两边左乘,，即,则,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,即,是B的对应的特征向量。,证毕。,4、设,是A对应的特征向量。,则：,i)当A倍乘后，,特征向量x不变！特征值（放大倍）,倍乘性质！,第1节 矩阵特征问题
5、及其基 本性质,ii)当A移位：A-I后：,移位量！,特征向量x不变！特征值：-,移位性质！,iii)当A求逆后,非奇异！,特征向量x 不变！特征值：,求逆性质！,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,以上关于倍乘、移位、求逆性质，在第三章中构造某些算法中具有非常重要的作用。,下面简要证明：设,（很容易推出）,（,）,若A非奇异，即,此式满足时A奇异，即,则对任何非零向量,必有,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,所以A不可能有零特征值，即,则,即,证毕。,（,）,那么存在一个酉矩阵,可用酉相似变换将A化成上三角阵，即,变换后矩阵B的特征值等于对角线元素！,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性
6、质,5、设一般矩阵,A的谱,由于酉相似变换不改变A的特征值（但特征向量改变！）所以由B可直接求出A的特征值：,关键是：如何构造这个酉矩阵？,6、关于Hermite矩阵和实对称矩阵特征解性质*,即,注意：实对称矩阵是结构动力分析中，最常用到的矩阵。,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,即B的对角线元素！,一般情况下，结构用有限元方法离散化后的刚度矩阵K和质量矩阵M都是实对称的，因此，研究实对称矩阵的特征问题非常重要。,而Hermite矩阵的特征问题是用于无阻尼回转系统的固有振动分析问题。,下条性质针对：,Hermite矩阵和实对称矩阵的特征值都是实数；,实数！,Hermite矩阵和实对称矩阵对
7、应于不同特征值的 特征向量相互正交；即,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,即,Hermite矩阵A的特征向量系,使得,是一酉矩阵,即,构成,即,上的规范正交基底。,性质证明略。,若,A的谱矩阵,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,称为A的谱分解。,实对称矩阵A的X 正交矩阵（实向量组成）,A谱分解,结论：当A为实对称矩阵时，,实向量，,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,则,特征向量矩阵：,正交矩阵。,当A为Hermite矩阵时：,复向量，,特征向量矩阵：,酉矩阵。,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,实对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是：,第1节 矩阵特征问题 及其基 本性质,略证。,本节小结,特征值问题的主要性质这些性质与矩阵性质密切相关！,
