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1、1,1-1 状态变量及状态空间表达式,1-2 状态空间表达式的建立,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,第一章 控制系统的状态空间表达式,主要内容,2,经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：系统模型为单输入单输出系统；忽略初始条件的影响；不包含系统的所有信息；无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。,用一个高阶微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统显然有其不足之处，它们不能完全描述系统的全部运动状态。,第一章 控制系统的状态空间表达式,3,eg1:如图系统，y表示小车运动的位移，u表示外作用力，F为摩擦力，k为摩擦系数，M为小车的质量。根据力学定理，
2、系统的方程为：,系统的传递函数为：,第一章 控制系统的状态空间表达式,光有位置 y 还不能完全表达小车的状态。,4,五十年代后期开始，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态变量法。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解与之相应在的高阶微分方程容易得多，而且可以同时得到系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。此外，状态空间法还可以方便地处理初始条件，可以用来分析设计多变量、时变和非线性系统，也可以应用于随机过程和采样数据系统，,第一章 控制系统的状态空间表达式,对复杂的时变、非线性、多输入多输
3、出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。,5,1-1 状态变量及状态空间表达式,一、状态,状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的数据来说明。,状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部）变量。,二、状态变量,设 x1(t),x2(t)xn(t)为系统的一组状态变量，则它应满足：1、在任何时刻t=t0，x1(t0),x2(t0)xn(t0)这组变量的值都表示系统在该时刻的状态；,2、当系统在tt0的输入和上述初始状态确定以后，状态变量便能完全确定系统在任何tt0时刻的行为。,6,1-1 状态变量及状态空
4、间表达式,三、状态向量,状态向量：一个 n 阶系统可以选择 n 个状态变量，即x1(t),x2(t),x3(t),xn(t)，这n个状态变量作分量所构成的向量就叫做该系统的状态向量，,7,以状态变量x1(t),x2(t),x3(t),xn(t)为坐标轴所构成的 n 维空间，称为状态空间。,在特定时刻t，状态向量x(t)=x1(t),xn(t)T在状态空间中是一点。随着时间的推移，状态向量x(t)在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。,四、状态空间,1-1 状态变量及状态空间表达式,8,描述系统输入变量、状态变量和输出变量之间关系的状态方程和输出方程总合起来，构成对系统动态行为的完整描述，称
5、为系统的状态空间表达式。,状态方程：描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。,系统矩阵或参数矩阵,输入矩阵或控制矩阵,五、状态空间表达式,1-1 状态变量及状态空间表达式,9,输出方程：在指定系统输出的情况下，描述系统输出与状态变量间关系的一组代数方程。,输出矩阵,直接传递矩阵,描述系统输入变量、状态变量和输出变量之间关系的状态方程和输出方程总合起来，构成对系统动态行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。,五、状态空间表达式,1-1 状态变量及状态空间表达式,10,1-1 状态变量及状态空间表达式,11,方法一：,令x1(t)=uc(t)x2(t)=i(t),1-1
6、状态变量及状态空间表达式,12,方法二：,1-1 状态变量及状态空间表达式,例：,13,1-1 状态变量及状态空间表达式,1.状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，因此它提示了问题的本质。2.输入引起的状态变化是一个运动过程，用状态方程表示。3.系统的状态变量个数仅等于系统包含的独立贮能元件的个数。4.对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。5.一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，单从便于控制系统的结构来说,把状态变量选为可测量或可观察更为合适.6.系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。,小结状态空间分析法的特点：,14,1-2 状态空间表达式的建立,一、线
7、性定常系统的状态空间表达式建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间 表达式；,方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式；,方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方程或传递函数）建立状态 空间表达式即“实现”问题。,15,1-2 状态空间表达式的建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,例1 R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变量，uR2(t)-输出变量。试求其状态空间描述?,解：1）确定状态变量 选 uc 和 iL 构成最小变量组,组成状态向量 x=uc iL,2.)列写网络方程并化为一阶微分方程组:,消去不是所确定的状态变量,16,1-2 状态空间表达式的建立,
8、方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,由（3）式得由（4）式得（5）式代入（6）式：,17,1-2 状态空间表达式的建立,3.)状态 方程:输出 方程:,18,1-2 状态空间表达式的建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,(n-1)个节点的KCL方程+m 个网孔的KVL方程。,例2,设输入量为电流源，指定以电容C1和C2上的电压为输出量。,利用支路电流法列写独立方程,19,1-2 状态空间表达式的建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,例2,消去不是所确定的状态变量,i3，i4,20,k,1-2 状态空间表达式的建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达
9、式,例3 设机械位移系统如图所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移 x 及其速度、加速度。图中m、k、f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。,双输入-三输出机械位移系统,解：据牛顿力学，有显见为二阶系统，选位移 x 及速度v作为状态变量。设：,21,1-2 状态空间表达式的建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,解：,1,22,1-2 状态空间表达式的建立,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,例4,输入T输出,23,1-2 状态空间表达式的建立,例5,方法一：根据系统的作用机理建立状态空间表达式,解：,输入u输出
10、,24,1-2 状态空间表达式的建立,1、四点备注,2）若一阶系统的方框图为：,方法二：根据系统的方框图建立状态空间表达式,25,1-2 状态空间表达式的建立,3）若一阶系统的方框图含有零点时：,方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式,4）对于二阶系统的方框图为：,26,1-2 状态空间表达式的建立,方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式,2、方法步骤,将系统方框图分解,27,1-2 状态空间表达式的建立,方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式,例1:已知系统方块图,试导出系统状态空间描述.解:1)把各环节传递函数化为最简形式组合.原方块图化为:,28,1-2 状态空间表达式
11、的建立,方法二：根据系统的方框图建立状态空间表 达式,解：2)把各环节化为相应的模拟结构图：,29,1-2 状态空间表达式的建立,方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方程或传递函数）建立状态空间表达式即“实现”问题。,对于SISO线性定常系统，其输入输出之间的动态关系即微分方程或传递函数分别为：,30,1-2 状态空间表达式的建立,方法三：根据系统输入输出之间的动态关系（微分方程或传递函数）建立状态空间表达式即“实现”问题。,、直接型实现（或直接程序法）,、并联型实现（或并联程序法）,、串联型实现（或串联程序法）,31,1-2 状态空间表达式的建立,、直接型实现（或直接程序法）,传递函
12、数中没有零点时的实现：,此时系统的微分方程或传递函数分别为,32,1-2 状态空间表达式的建立,33,1-2 状态空间表达式的建立,第二种实现,34,1-2 状态空间表达式的建立,例:设系统的微分方程为：,求系统的状态方程和输出方程。解：选取状态变量为,则得状态方程组：,y=1 0 0,35,1-2 状态空间表达式的建立,传递函数中有零点时的实现：,第一种实现,例1,36,1-2 状态空间表达式的建立,传递函数中有零点时的实现：,第一种实现,例2,37,1-2 状态空间表达式的建立,38,1-2 状态空间表达式的建立,39,1-2 状态空间表达式的建立,传递函数中有零点时的实现：,第二种实现,
13、例2,选择状态变量：,其中，待定系数为：,40,1-2 状态空间表达式的建立,传递函数中有零点时的实现：,第二种实现,例,41,1-2 状态空间表达式的建立,第二种实现,42,、并联型实现(或并联程序法),传递函数中无重极点情况时的实现：,例1,43,传递函数中有重极点情况时的实现：,例2,、并联型实现(或并联程序法),44,、并联型实现(或并联程序法),45,传递函数中有共轭极点情况时的实现：,例3,、并联型实现(或并联程序法),46,例1,、串联型实现(或串联程序法),47,1-2 状态空间表达式的建立,二、线性时变系统的状态空间表达式建立,对于SISO线性时变系统，根据其作用原理列写其微
14、分方程（不存在传递函数），然后再转化为其状态空间表达式。,48,1-2 状态空间表达式的建立,二、线性时变系统的状态空间表达式建立,例1,解：令,49,1-2 状态空间表达式的建立,二、线性时变系统的状态空间表达式建立,例2,解：令,50,1-2 状态空间表达式的建立,三、非线性连续系统的状态空间表达式建立,1、可线性化的非线性系统：,解：令,51,1-2 状态空间表达式的建立,例1 试求下列非线性系统在x0=0，u0=0 处的线性化状态空间表达式。,解：令,将f1、f2、g 分别在x0=0，u0=0附近作泰勒级数展开,52,1-2 状态空间表达式的建立,解：令,例1 试求下列非线性系统在x0
15、=0，u0=0 处的线性化状态空间表达式。,53,1-2 状态空间表达式的建立,线性化的增量状态空间表达式,54,1-2 状态空间表达式的建立,例1 试求下列非线性系统在x0=0，u0=0 处的线性化状态空间表达式。,解：令,55,1-2 状态空间表达式的建立,三、非线性连续系统的状态空间表达式建立,2、不可线性化处理的非线性系统：,典型的非线性特性,56,1-2 状态空间表达式的建立,三、非线性连续系统的状态空间表达式建立,2、不可线性化处理的非线性系统：,系统包括线性部分和非线性部分，在列写状态方程时可将它们分别处理。,57,1-2 状态空间表达式的建立,解：对于线性部分，,取状态变量为,
16、58,1-2 状态空间表达式的建立,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,1、离散系统与连续系统的主要区别,连续系统：系统中的信号不仅在时间上是连续的，而 且在幅值上也连续，常称这类信号为模拟 信号，此类系统为连续系统。,离散系统：系统中总有一处或多处的信号在时间上是 断续的，而在幅值上如果是连续的，称为 采样信号；如果幅值是经过整量化后的数 码，称为数字信号。这两类信号都可称为 离散信号，相应的系统前者为采样控制系 统，后者为数字控制系统，两者都为离散 控制系统。,59,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,差分的定义：,1-2 状态空间表达式的建立,60,差分的定义
17、之一向前差分,一阶向前差分：,二阶向前差分：,n 阶向前差分：,1-2 状态空间表达式的建立,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,61,差分的定义之二向后差分,一阶向后差分：,二阶向后差分：,n 阶向后差分：,1-2 状态空间表达式的建立,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,62,差分方程：,若连续系统的微分方程,1-2 状态空间表达式的建立,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,63,差分方程：,n 阶离散系统差分方程的一般表示为：,其中，n 表示差分方程的阶次；m 表示输入信号差分阶次（m n）。此式称为常系数线性
18、差分非齐次方程。,1-2 状态空间表达式的建立,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,64,差分方程的求解：,迭代法和Z变换法,迭代法,解：,ts=5T,1-2 状态空间表达式的建立,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,65,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,Z变换法,Z变换的定义,已知连续函数 f(t)的拉氏变换为：,对于f(t)的采样信号：,拉氏变换得：,1-2 状态空间表达式的建立,66,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,Z变换法,典型函数的Z变换,Z变换的基本定理,1、线性定理：,
19、1-2 状态空间表达式的建立,67,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,2、离散系统的差分方程,Z变换法,实域位移的含意是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向右移动为延迟，向左移动为超前。,延迟定理,Z变换的基本定理,1-2 状态空间表达式的建立,68,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,3、离散系统状态空间表达式的建立,n 阶离散系统差分方程的一般表示为,相应的脉冲传递函数为,其实现即状态空间表达式为,1-2 状态空间表达式的建立,69,四、线性离散系统的状态空间表达式建立,3、离散系统状态空间表达式的建立,输入函数不含未来值情况,选取系统状态变量为：,1-2 状态空间
20、表达式的建立,70,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,一、传递函数阵,1、SISO系统：,在零初始条件下，对上式进行拉氏变换：,输入输出间的传递函数阵：,71,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,一、传递函数阵,2、MIMO系统：,输入输出间的传递函数阵：,72,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,二、组合系统的传递函数阵,73,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,二、组合系统的传递函数阵,1、并联方式：,状态空间表达式（时域模型）,74,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,二、组合系统的传递函数阵,1、并联方式：,传递函数阵（频域模型）,可推广到 n 个子系统的并联：,75,1-
21、3 由状态空间表达式求传递函数阵,二、组合系统的传递函数阵,2、串联方式：,状态空间表达式（时域模型）,76,1-3 由状态空间表达式求传递函数阵,二、组合系统的传递函数阵,2、串联方式：,传递函数阵（频域模型）,可推广到 n 个子系统的串联：,77,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,一、系统状态空间表达式的非唯一性,对于一给定的线性定常系统而言，可选取多种状态变量，则相应地就有多种状态空间表达式来描述同一系统。所选取的状态向量之间，实际上是一种向量的线性变换。,总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将 X 进行线性变换，得到另一个状态向量 Z。,78,令,代入（1）式得：,即,一、系统状态空间表
22、达式的非唯一性,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,79,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,二、线性变换的基本性质,线性变换不改变系统的特征值,系统特征值就是系统矩阵A的特征值，完全由系统参数 唯一确定。,对于同一系统，经非奇异变换后得：,则其特征方程为：,80,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,二、线性变换的基本性质,线性变换不改变系统的特征值,线性变换不改变系统的传递函数阵,81,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,二、线性变换的基本性质,线性变换不改变系统的特征值,令,82,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,三、系统矩阵A 化为标准型,通过非奇异的线性变换，可以求出无数种系统的动态
23、方程，但是有几种标准形对我们特别有用，如能控标准形、能观标准形、对角标准形和约当标准形。,83,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,三、系统矩阵A 化为标准型,1、A 阵为任意形式时:,设 i 是 A 阵的 n 个互异特征根(i=1,2,n)，求出其特征向量Pi，则变换矩阵T=P1 P2Pn。,例1-10,虽然通过非奇异的线性变换，可以求出无数种系统的动态方程，但是有几种标准形对我们特别有用，如能控标准形、能观标准形、对角标准形和约当标准形。在本节，我们先,84,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,三、系统矩阵A 化为标准型,设 A阵的特征值有q 个1的重根,其余(n-q)个根互异,变换矩阵T
24、=P1 P2 Pq Pq+1 Pn,其中Pq+1 Pn 是对应于(n-q)个单根的特征向量,求法同上；而对应于 q 个1的重根的各特征向量P1 P2 Pq 的求法：,例1-11,85,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,三、系统矩阵A 化为标准型,2、A 阵为友矩阵时:,其变换矩阵T 是一个范德蒙德矩阵：,86,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,三、系统矩阵A 化为标准型,2、A 阵为友矩阵时:,以有1的三重根为例说明,87,1-4 状态向量的线性变换坐标变换,三、系统矩阵A 化为标准型,2、A 阵为友矩阵时:,88,关于状态变量、状态向量的几点说明,1、完备性：,一方面：一组状态变量值代表
25、系统的某个 确定的状态；,89,关于状态变量或状态向量的几点说明,2、不唯一性：状态变量的选取不唯一。,状态变量的个数应等于系统独立储能元件的个数，即一个 n 阶系统应有 n 个独立的储能元件。,3、最小性：描述系统的最小变量个数。,任意选取的两个状态向量可以通过非奇异变换相互表示。,90,选择实际系统中的独立储能元件上的物理变量作为状态变量来建立系统的状态空间表达式，有利于对系统的状态进行测量和控制。,对于机械系统，质量m 储存动能(mv2/2)，可取其速度 v 为状态变量；弹簧 k 储存势能(ky2/2)，可选取弹簧的位移 y 为状态变量；转动惯量 J 储存动能(J2/2)，可取其角速度
26、为状态变量；扭簧K 储存势能(K2/2)，可选扭簧的角位移 为状态变量。,选取独立储能元件的物理变量为状态变量的方法,91,系统的阶数为独立储能元件的个数，而不是储能元件的个数。对于电子网络应特别注意：,网络中若有多个电容并联或多个电感串联，可分别 等效为一个电容或一个电感，相当于一个储能元件。,三个独立储能元件,选取独立储能元件的物理变量为状态变量的方法,网络中如果含有 仅由k 个电容（或电压源）组成的 回路，由基尔霍夫电压定律可知，其中任一电容的 电压是其余(k-1)个电容电压的线性组合，故这部分 回路的独立储能元件个数为(k-1)个。,92,网络中如果含有仅由 k 个电感（或加电流源）组成 的割集，由基尔霍夫电流定律可知，其中任一电感 的电流是其余(k-1)个电感电流的线性组合，故这部 分电路的独立储能元件个数为(k-1)个。,选取独立储能元件的物理变量为状态变量的方法,系统的阶数为独立储能元件的个数，而不是储能元件的个数。对于电子网络应特别注意：,
