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1、,约束、自由度与广义坐标,一、问题的提出,物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统与非自由系统。,研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广义坐标的概念。,二、约束,1.约束概念,约束就是限制物体任意运动的条件。,刚体静力学研究约束,是探究约束的原因-约束力,运动学研究约束,是探究约束的结果-运动的限制,2.约束方程,(1)坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。(2)位形 对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。(3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t
2、之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程。,3.约束分类与约束方程一般形式,n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：,(r=1,s),约束方程的个数为：s,约束方程中不含:时为几何约束(完整约束),反之为非完整约束。,约束方程的特例:,约束方程中不含:时间显含t时为定常约束,反之为非定常约束。,约束方程中以等号表示时:为双面（固执）约束,反之为单面（非固执）约束。,几何约束,曲面上的质点：,单摆:,运动约束,几何约束,运动约束,纯滚动的圆轮：,定常几何约束,单摆:,非定常几何约束,单摆,OA为刚性杆：,OA为柔绳：,双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。,单面
3、约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。,1.位移约束-全部几何约束,2.运动约束可积分-纯滚动的圆轮;,运动约束不可积分-如碰撞系统,摩擦系统等.,静力学问题中的约束都是定常几何约束。,本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。,三、广义坐标、自由度,自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数,平面质点:,空间质点:,i=1,2,n,1.基本概念,自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数,与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标,2.自由刚体的自由度,最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：,此后每增加一个质点就增加3根刚杆。,连接质点的
4、刚杆数为：,每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：,自由度数为：,n4,3.自由刚体的广义坐标,基点的直角坐标,和欧拉角,或卡尔丹角,自由刚体的广义坐标。,组成的6个独立参变量就是,它们被用于描述刚体的位形。,4.受约束刚体的自由度,设刚体数为n，则 k=6n-S,4、约束刚体的自由度与广义坐标,约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。,四 实例:机构如图,轮C作纯滚动,3.约束方程(在点O建立直角坐标),1.刚体数目 3;,2.定轴转动刚体 OA;平面运动刚体 AB及轮C;,结论:8个约束方程,4.广义坐标,5.自由度计算,广义坐标数为:3n-s=1,即:,自由度,约束方程数,或,刚体数n=3,6.选广义坐标为:,自由度恒等于广义坐标数,广义坐标,自由度,本例为质点与刚体,五 总 结,(1)检查刚体(质点)数目 n。(2)检查各刚体的运动形式。(3)列写出约束方程。(4)计算自由度,确定广义坐标。(a)空间刚体系 k=6n-s,空间质点系 k=3n-s(b)平面刚体系 k=3n-s,平面质点系 k=2n-s,
