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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,用微积分建立疾病传染模型并预测其趋势电子科技大学：李皓月,一、初等模型的建立（参量：N、i(t)、s(t)、a、）将人员分为两个集合，即病人和健康人（易感者）。1.假设疫区的人口状况不变,即不计出生人数和死亡人数,迁入迁出人数.总人口数短期内恒为N。2.设t时刻病人所占总人数比例为i(t)。3.设t时刻健康人所占总人数比例为s(t)。此时有4.设每人每天平均接触的人数比例为。5.健康人被感染的概率为常数a，且不考虑治愈后的免疫力。6.平均病人人群每天的治愈率为常数。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,于是可列下列等式,对第一个等式两边同时除以，并令,则可变
2、换为,带入化简后,伯努利方程,令 则有,解得z的解为,当 时,当 时,如果有初始值t=0时，,其中,由 和 的含义可知，是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。于是有,此模型可以粗略预测不计人口变化且不考虑治愈后人群的传染概率的变化的疾病,二、中等模型的建立（参量：N、i(t)、s(t)、r(t)、l、a、m、）,将人群分为三个集合，即病人，未患病人群，已治愈人群,1假设疫区的人口状况不变,即不计出生人数和死亡人数,迁入 迁出人数.总人口数为N2设t时刻病人比例为i(t)3设t时刻易感人群(从未患病人群)的比例为s(t)4设t时刻已治愈人群比例r(t)5设每人每天平均接触的人数比
3、例为6易感人群被感染的概率为常数a，已治愈人群拥有免疫力不会再患病7平均病人人群每天的治愈率为常数,于是可列方程,且有s（t）+i（t）+r（t）=1，则方程可化简为,上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。此处用matlab软件求解。,设=1，a=1,=0.3,i(0)=0.02,s(0)=0.98，,MATLAB软件编程function y=ill(t,x)a=1;b=0.3y=a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)输入ts=0:50 x0=0.02,0.98t,x=ode45(ill,ts,x0);t,x 结果为,此图为is曲线,此图中初始点在下
4、侧的曲线为i（t）曲线。初始点在上侧的曲线为s（t）曲线,三、高等模型的建立（复合群体）,在中等模型的基础上可以考虑和增加更多的变量从而更准确更多的预测疾病模型。,把人群按年龄分为三个集合，即儿童，青年，中老年。不同年龄阶段人群的感染率和治愈率不同。每个集合再分为两个子集，即病人和健康人（也就是说不考虑免疫问题）,1设儿童的人数为L，传染概率为 每天平均治愈率为2设青年的人数为M，传染概率为 每天平均治愈率为3设中老年的人数为N，传染概率为 每天平均治愈率为4设每人每天平均接触的人数比例为,则可列如下方程,且有,上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。同中等模型的解法一样，依赖于matlab软件。,同样可以在此模型基础上加上更多变量，如性别比例，人口流动，疾病预防宣传，工作性质，区域特点，还有疾病本身的传染途径等特点。如此则可以建立更加精确的模型来预测疾病的传染趋势。,结束语本文就建立传染病传播趋势的数学模型进行了初步讨论，在实际建立模型过程中应根据实际问题的需要选取变量，选取合理的建立模型的方法（单一群体法，复合群体法，微观个体法等）,参考资料：张发、李璐，等.传染病模型综述.系统工程理论与实践.第31卷第9期。,
