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1、第4章 平面问题高精度单元,矩形单元讨论,单元位移模式,单元应力、应变,单元刚度矩阵,单元简介,面积坐标,简单三角形单元缺点,提高有限元求解精度的途径,高精度单元的原理,单元位移模式,4.1 提高有限元求解精度的途径,三节点三角形单元精度低，收敛慢，在单元内不能反映应力应变的变化。这是因为该单元只有3个节点，单元自由度少，单元位移模式只能是线性函数，描述单元内位移变化的能力差。,第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格加密，依靠单元的收敛性提高求解精度；第二个途径是对一定的单元网格和单元尺寸，采用高精度单元以提高求解精度。,一、简单三角形单元的缺点,二、提高有限元求解精度的途径,途径：主要是
2、增加单元的节点数。,三、建立高精度单元的原理和途径,原理：提高单元位移模式多项式的阶次，从而增强单元拟合局部区域位移、应力变化的能力。,对平面问题，先考虑采用4节点矩形单元和6节点三角形单元。,4.1 提高有限元求解精度的途径,4.2 矩形单元,一、矩形单元及其位移模式,矩形单元边长分别为2a、2b。取4个顶点为节点。不失一般性地假设矩形的2个对称轴分别为x，y轴。每节点2个位移分量，因此单元共8个自由度。,单元节点编号为 k，l，m，n,单元节点位移列阵为：,单元内位移多项式设4项，为双线性多项式：,写成矩阵形式为：,其中 为形函数矩阵,4.2 矩形单元,通过节点坐标和节点位移代入，把广义坐
3、标（多项式系数）代换为节点位移分量后得到插值形式的位移函数：,各形函数为：,形函数矩阵,4.2 矩形单元,由于边界平行于坐标轴，矩形单元位移模式沿单元边界（x，y方向）都是线性变化，沿其他方向则按2次函数变化。称为“双线性”位移函数。,由于单元位移在单元边界上线性变化，而单元之间的公共边界上有2个公共节点，所以单元边界间的位移是连续的，单元满足协调性条件。,和简单三角形单元一样，矩形单元位移模式中包含了完全一次多项式，所以满足完备性条件。因此矩形单元的收敛性得到保证。,显然，上述形函数满足形函数性质。,4.2 矩形单元,二、单元应变和应力,形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到38应变矩阵：,单
4、元位移模式代入平面问题几何方程：,4.2 矩形单元,由平面问题物理方程（应力应变关系）得到：,对于矩形单元，其单元上应力、应变不再是常数，而是一定程度上呈线性变化，即：x方向正应变、正应力随y坐标线性变化；y方向正应变和正应力随x坐标线性变化。因此，在一定条件下，精度会高一阶。,4.2 矩形单元,三、矩形单元刚度矩阵,矩形单元刚度矩阵导出的原理和方法同简单三角形单元。计算式如下：,可以通过积分计算出精确的刚度矩阵元素，见P51。,4.2 矩形单元,四、矩形单元讨论,4节点矩形单元采用了双线性位移模式，应力基本上沿坐标轴呈线性变化，因而精度比3节点三角形单元高。,由于位移模式在单元边界上线性变化
5、，并且根据单元公共边界上两个共同节点位移插值得到，单元的协调性得到满足，同时也满足完备性，因此单元是收敛的。,单元要求两对边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界，单元网格疏密不能过渡，这是矩形单元的固有缺点。矩形单元可以与3节点三角形单元结合使用。,如果突破几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元，便可成为实用的单元。,4.2 矩形单元,4.3 6节点三角形单元简介,6节点三角形单元,三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元位移模式多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图示6节点三角形单元，单元每边中点设一个节点，则单元有12个自由度，因此位移模式恰好取完全二次多项式：,一、
6、单元概述,4.3 6节点三角形单元简介,显然单元满足完备性要求。由于该位移模式决定了单元边界上位移呈二次抛物线分布，相邻单元公共边界上有三个公共节点，正好能够保证相邻单元在边界上位移的连续性，因而是协调元，单元满足收敛条件。该单元应变、应力随坐标完全呈线性变化，属于高精度单元。,进行广义坐标代换后位移模式仍可写成标准形式：,但是，采取如前面3节点单元建立形函数的办法过于复杂，下面介绍用三角形单元的面积坐标描述单元位移模式和形函数的方法。,4.3 6节点三角形单元简介,三角形单元上的面积坐标,面积坐标的定义如图所示。,三角形中任意一点的位置用三个参数来表示，称为面积坐标。面积坐标（Li,Lj,L
7、m）定义为三个比值：,二、面积坐标下6节点三角形单元分析,4.3 6节点三角形单元简介,因此，单元内任一点的面积坐标满足关系：Li+Lj+Lm=1 即3个面积坐标只有2个面积坐标是独立的。,面积坐标与直角坐标之间有确定的变换关系，因此，对三角形单元的描述完全可以用面积坐标进行。,直角坐标表示面积坐标,不难导出下列变换关系：,显然，面积坐标与3节点三角形单元的形函数完全相同。,矩阵形式：,4.3 6节点三角形单元简介,面积坐标表示直角坐标,不难导出下列变换关系：,矩阵形式：,4.3 6节点三角形单元简介,利用上面变换式，三角形单元上的任何多项式函数可以方便地在两种坐标之间转换。,面积坐标的各种形式幂函数在三角形上的积分有很简便的计算公式。,面积坐标表示的6节点三角形单元形函数,根据形函数性质直接构造出用面积坐标表示的形函数如下：,不难验证，上述6个形函数满足形函数的2个主要性质：,采用面积坐标后，单元刚度矩阵和等效节点力的计算都比较方便。,6节点三角形单元列式推导原理与其它单元相同。,4.3 6节点三角形单元简介,再见,
