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1、3 梁 单 元目 标：掌握用梁单元进行结构有限元分析的原理。,3.1 简单梁单元_直梁、节点位移与节点载荷,对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。3个单元4个节点。梁上任一节点处有2个位移分量：挠度 及转角。,任一个节点 i 的位移用列阵表示为：,称为节点i的节点位移。,对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 和弯矩，称为广义力。,称为节点i的节点载荷。,梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。,任一个节点 i 的载荷用列阵表示为：,、简单梁单元的单元特性,单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移
2、分量4个自由度；单元节点位移分量：,分析一个从上述梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。,称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。,（1）单元的描述,结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该梁单元的作用力，称为单元节点力。每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。单元节点力分量：,称为单元e的单元节点力列阵（向量）。,注意：如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。（参见P5的1115行）,（
3、2）单元特性研究,结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的弹性特性（刚度特性）。下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵性质建立梁单元的特性,根据前面的分析，在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系，用矩阵形式表示为：,简记为：,梁单元的刚度方程,上式中 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。,方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：,为了分析单元刚度矩阵元素的物理意义，上式中令：,（这里1，2，3，4是单元自由度序号）,可见，某列刚度系数就是相应节点位移分量为1，
4、其他位移分量皆为0时的所有节点力分量单元刚度矩阵元素的物理意义,由刚度方程可得：,现根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系数：,设,则梁单元变形如右图：,按材料力学梁变形公式求节点力如下：,挠度：,转角：,联立解出：,再由梁单元的静力平衡条件得：,至此已求出刚度矩阵的第一列元素。,再设：,则梁单元变形如右图：,由刚度方程可得：,同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：,同样的方法可以解出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：,显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；2）奇异性；3）主对角元素恒正。,刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定。,（3）单元刚度方程
5、的分块,采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。,单元节点力列阵分块,单元节点位移列阵分块,分块形式的单元刚度矩阵：,上述每一子块均为21子列阵。,每一子块均为22子矩阵,因此，单元刚度方程分块形式表示为：,上式按分块形式展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：,上述按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在结构的整体分析时更简洁。,、离散结构的整体分析,设已知分块形式的各单元特性：,离散结构的各节点作为隔离体，分析其受力平衡。,单元节点力的反作用力,外载荷,单元节点力,单元节点力,以节点2为例，分析其受力与平衡。节点2的受力分为两类：1）外载荷：2）单元（1）和（
6、2）上节点力的反作用力：,由节点2的静力平衡条件得：,单元节点力的反作用力,外载荷,单元节点力,单元节点力,节点2的外载荷等于节点2对其所有相连单元的节点力之和！也就是节点2所受外载荷 要分配到相连的单元上。,由前面给出的单元（1）、（2）分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：,同理，由节点3的平衡可得：,由节点1、4的平衡得：,将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：,（请同学们课后练习）,上式简写为：,结构有限元平衡方程,显然，结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、
7、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性。非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件？）。总之，从前面弹簧、直杆和这里梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以初步归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：1）对称性；2）奇异性；3）稀疏性；4）非零元素带状分布,关于结构总刚度矩阵的讨论,关于结构有限元平衡方程的讨论,平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献。平衡方程右端是各节点外载荷。因此，有限元平衡方程代表了系统各节点所受外载荷与所受单元反作用总力之间
8、的平衡。对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。,3.2 平面内一般梁单元,模拟,平面刚架,拉伸、弯曲组合,单元变形特征,节点位移分量,节点载荷分量,平面梁单元,结构节点位移,结构节点载荷,节点自由度：3,、单元与节点,建立两者联系,、局部坐标系下平面梁单元单元有2个节点：i，j局部坐标系下节点位移分量：轴向位移：横向挠度：转角：局部坐标系下节点力分量：轴向力：横向剪力：弯矩：单元有6个位移分量 6个自由度单元节点位移列阵：单元节点力列阵：,（1）单元描述,
9、（2）建立单元特性方程,在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。分别研究两种变形模式下的刚度特性。利用前面所学的杆单元和简单梁单元的节点力与节点位移关系（单元刚度方程），进行联立，整理成矩阵形式得到下列组合变形下的平面梁单元刚度方程：,上面刚度方程简写为：,分块形式：,其中：,刚度矩阵一个子块：,、整体坐标系下刚度矩阵坐标变换,局部坐标系下节点位移：,整体坐标系下节点位移：,节点位移矢量坐标变换：,考虑到节点转角 不变,简写,节点变换矩阵：,单元节点位移列阵的变换：,简写,单元坐标变换矩阵,单元节点力列阵的变换：,节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。,单元刚度矩阵的坐标变换
10、：,将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程：,、平面刚架的整体分析,平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。根据每个节点外载荷与结构的节点力平衡导出系统的平衡方程。再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到：,总体平衡方程：,3.3 三维空间梁单元简介,3.3.1 单元功能：模拟三维刚架3.3.2 单元特性分析,基本思路与平面梁单元相同：先在局部坐标系下建立单元特性描述，再变换到总体坐标系下。,局部坐标系下节点位移：,单元有12个自由度,总体坐标系下节点位移：,局部坐标系下单元刚度特性分析,三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个
11、主平面内弯曲、扭转变形的组合。前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程：,由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚度矩阵。,把上述3类刚度矩阵拼装后可得到三维梁单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵：,通过单元节点上位移矢量、转动矢量、节点力矢量、节点力矩矢量的三维坐标变换矩阵，导出总体坐标系下梁刚度矩阵。原理与步骤同平面梁单元。,总体坐标系下三维梁刚度矩阵,小变形下节点线位移矢量和角位移矢量的变换：,其中：,局部坐标系对总体坐标系的方向余弦矩阵。,则单元节点位移列阵的变换为：,单元坐标变换矩阵,单元刚度矩阵变换：,
