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1、1,第6章 图,2,第6章 图,6.1 图的基本概念6.2 图的连通性6.3 图的矩阵表示6.4 几种特殊的图,3,6.1 图的基本概念,6.1.1 无向图与有向图6.1.2 顶点的度数与握手定理6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图6.1.4 子图、补图6.1.5 图的同构,4,无序对与多重集合,无序对:2个元素构成的集合,记作(a,b)无序积:AB=(x,y)|xAyB例如 A=a,b,c,B=1,2 AB=BA=(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2)AA=(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)BB=(1,1)
2、,(1,2),(2,2)多重集合:元素可以重复出现的集合重复度:元素在多重集合中出现的次数例如 S=a,b,b,c,c,c,a,b,c 的重复度依次为1,2,3,5,无向图,定义6.1 无向图G=,其中V称为顶点集,其元素称为顶点或结点;E是VV的多重子集,称为边集,其元素称为无向边，简称边.有时用V(G)和E(G)分别表示V和E例如,G=如图所示,其中V=v1,v2,v5 E=(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5),6,有向图,定义6.2 有向图D=,其中V称为顶点集,其元素称为顶点或结点;E是VV的多重子集,称为边集,
3、其元素称为有向边，简称边.有时用V(D)和E(D)分别表示V和E 有限图:V,E都是有穷集合的图n 阶图:n个顶点的图零图:E=的图平凡图:1 阶零图,7,顶点和边的关联与相邻,设无向图G=,ek=(vi,vj)E,称vi,vj为ek的端点,ek与vi(vj)关联.若vi=vj,则称ek为环.无边关联的顶点称作孤立点.若vi vj,则称ek与vi(vj)的关联次数为1;若vi=vj,则称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是边e的端点,则称e与vi 的关联次数为0.设vi,vjV,ek,elE,若(vi,vj)E,则称vi,vj相邻;若ek,el有一个公共端点,则称ek,el相邻.对有向图有类
4、似定义.设ek=vi,vj是有向图的一条边,又称vi是ek的始点,vj是ek的终点,vi邻接到vj,vj邻接于vi,8,顶点的度数,设G=为无向图,vV,v的度数(度)d(v):v作为边的端点次数之和 悬挂顶点:度数为1的顶点悬挂边:与悬挂顶点关联的边G的最大度(G)=maxd(v)|vVG的最小度(G)=mind(v)|vV例如 d(v5)=3,d(v2)=4,d(v1)=4,(G)=4,(G)=1,v4是悬挂顶点,e7是悬挂边,e1是环,9,顶点的度数(续),设D=为有向图,vV,v的出度d+(v):v作为边的始点次数之和v的入度d(v):v作为边的终点次数之和v的度数(度)d(v):v作
5、为边的端点次数之和 d(v)=d+(v)+d-(v)+(D),+(D),(D),(D),(D),(D)悬挂顶点,悬挂边例如 d+(a)=4,d-(a)=1,d(a)=5,d+(b)=0,d-(b)=3,d(b)=3,+=4,+=0,=3,=1,=5,=3,10,握手定理,定理6.1 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都等于边数的2倍.证 图中每条边(包括环)均有两个端点,所以在计算各顶点度数之和时,每条边均提供2度,m条边共提供2m度.推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点定理6.2 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数证 每条边恰好提供1个入度和1个出度,11,图的
6、度数列,设无向图G的顶点集V=v1,v2,vnG的度数列:d(v1),d(v2),d(vn)如右图度数列:4,4,2,1,3设有向图D的顶点集V=v1,v2,vnD的度数列:d(v1),d(v2),d(vn)D的出度列:d+(v1),d+(v2),d+(vn)D的入度列:d(v1),d(v2),d(vn)如右图度数列:5,3,3,3 出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2,12,实例,(2)能,例1 下述2组数能成为无向图的度数列吗?(1)3,3,3,4;(2)1,2,2,3,解(1)不可能.有奇数个奇数.,13,实例,例2 已知图G有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2
7、,问G至少有多少个顶点?,解 设G有n个顶点.由握手定理,43+2(n-4)210解得 n8,例3 已知5阶有向图的度数列和出度列分别为3,3,2,3,3和1,2,1,2,1,求它的入度列,解 2,1,1,1,2,14,实例,例4 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.,证 用反证法.假设存在这样的多面体,作无向图G=,其中 V=v|v为多面体的面,E=(u,v)|u,vV u与v有公共的棱 uv.根据假设,|V|为奇数且vV,d(v)为奇数.这与握手定理的推论矛盾.,15,实例,例5 设9阶无向图的每个顶点的度数为5或6,证明它至少有5个6度顶点或者至少有6个5度顶点.,证
8、讨论所有可能的情况.设有a个5度顶点和b个6度顶点,(1)a=0,b=9;(2)a=2,b=7;(3)a=4,b=5;(4)a=6,b=3;(5)a=8,b=1(1)(3)至少5个6度顶点,(4)和(5)至少6个5度顶点,方法二 假设b9-5=4.由握手定理的推论,a 6,16,简单图,定义6.4 在无向图中,关联同一对顶点的2条或2条以上的边,称为平行边,平行边的条数称为重数在有向图中,具有相同始点和终点的2条或2条以上的边称为有向平行边,简称平行边,平行边的条数称为重数含平行边的图称为多重图既无平行边也无环的图称为简单图,17,实例,e5和e6 是平行边重数为2不是简单图,e2和e3 是平
9、行边,重数为2e6和e7 不是平行边不是简单图,18,完全图与正则图,无向完全图:每对顶点之间都有一条边的无向简单图.n阶无向完全图记作Kn,顶点数n,边数m=n(n-1)/2,=n-1有向完全图:每对顶点之间均有两条方向相反的边的有向简单图.顶点数n,边数m=n(n-1),+=+=-=-=n-1,=2(n-1)k-正则图:每个顶点的度数均为k的无向简单图顶点数n,边数m=kn/2,19,实例,K3,K5,3阶有向完全图,2正则图,4正则图,3正则图彼得松图,20,圈图与轮图,无向圈图Cn=,其中V=v1,v2,vn,E=(v1,v2),(v2,v3),(vn-1,vn),(vn,v1),n
10、3有向圈图Cn=,其中V=v1,v2,vn,E=,n 3轮图Wn:无向圈图Cn-1内放一个顶点,且与圈图的每个顶点之间恰有一条边,n 4,21,方体图,n方体图Qn=是2n阶无向简单图,其中 V=v|v=a1a2an,ai=0,1,i=1,2,n E=(u,v)|u,vVu与v恰好有一位数字不同.,22,子图,定义6.10 设G=,G=是2个图(同为无向图,或同为有向图)若VV且EE,则称G为G的子图,G为G的母图,记作GG若GG 且V=V,则称G为G的生成子图若VV或EE,称G为G的真子图设VV且V,以V为顶点集,以两端点都在V中的所有边为边集的G的子图称作V的导出子图,记作GV设EE且E,
11、以E为边集,以E中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E的导出子图,记作GE,23,实例,(1),(2),(3)是(1)的子图,(2),(3)是真子图,(1)是母图.(1),(3)是(1)的生成子图.(2)是d,e,f 的导出子图,也是e5,e6,e7导出子图.(3)是e1,e3,e5,e7的导出子图,24,补图,定义6.11 设G=为n阶无向简单图,记=VV-E,称 为G的补图,25,图的同构,定义6.12 设G1=,G2=为两个无向图(有向图),若存在双射函数 f:V1V2,使得对于任意的vi,vjV1,(vi,vj)E1(E1)当且仅当(f(vi),f(vj)E2(E2)并且(vi,vj)()与(f(vi),f(vj)()的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.,26,实例,27,实例,例6 画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图解 总度数为6,分配给4个顶点,最大度为3,且奇度顶点数为偶数,有下述3个度数列:(1)1,1,1,3;(2)1,1,2,2;(3)0,2,2,2.,1,1,1,3,1,1,2,2,0,2,2,2,28,实例,例7 画出3个以1,1,1,2,2,3为度数列的非同构的无向简单图,
