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1、20150718,1,随机性模型选讲,理学院 数学教研部郑继明E-mail:,20150718,2,Outline,1.简单的随机性模型2.报童的卖报问题 传染病的随机感染 为什么航空公司要超订机票 假设检验,my教案http:/=125&id=zhengjm,20150718,3,按建模时：确定性因素?随机性因素?,随机因素可以忽略,(随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现),随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,数学模型分类,20150718,4,1 简单的随机性模型,1.1 取球问题,问题：盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放
2、回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。,20150718,5,分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时盒中就不一定有9个新球了，因为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。,设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；,（i0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个新球”,则得：,|,于是由全概率公式,|,20150718,6,1.2 电能供应问题,问题：某车间有耗电为5KW的机床10台，每台机床使用时是各自独立地且间隙地工作，平均每台每小时工作12min。该车间配电设备的容量为32
3、KW，求该车间配电设备超载的概率。,20150718,7,分析：每台耗电量为5KW，而配电设备容量为32KW，显然，有七台或七台以上的机床同时工作时，设备会发生超载现象。下面求出现这种现象的概率。,观察10台完全相同的机床在同一时刻的工作情况与观察一台机床在10个时刻的工作情况是一样的。我们关心的问题是机床是否正在工作。,对于任一时刻，机床要么工作，要么不工作，只有两个结果，而10台机床的工作是相互独立的，每台机床正在工作的概率相同且，这是贝努利概型.,20150718,8,由二项分布知，“在同一时刻不少于七台机床同时工作”的概率,注：该车间设备超载的可能性(概率)是非常小的。,2015071
4、8,9,1.3 客车停站问题,问题：一辆送客汽车载有20位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。,20150718,10,设随机变量X表示停车次数,则,因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下车的概率为，,记,所以,20150718,11,从而得汽车平均停车次数：,20150718,12,1.4 蒲丰投针问题,问题：平面上画有等距离为 的一些平行线，向此平面任投一长为 的针，试求此针与任一平行线相交的概率。,以M表示针落下后的中点,x表示M到最近一条平行线的距离，表示针
5、与平行线的交角，如图,20150718,13,分析：有两种可能(针与这些平行线中的某一根相交，或都不相交。),没有理由认为这两种可能性是一样大的。,用几何概率去解决。,基本事件区域,其面积为：,20150718,14,而A的面积为,针与平行线相交的充要条件是,故所求概率为,下面用MATLAB求解,20150718,15,注：rand(n)=rand(n,n),MATLAB相关知识,20150718,16,随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是否都是 1/2(稳定性),n=10000;%给定试验次数m=0;for i=1:n x=randperm(2)-1;y=x(1);if y=0%0
6、表示国徽朝上，1 表示国徽朝下 m=m+1;endendfprintf(国徽朝上的频率为：%fn,m/n);,试验一：投掷硬币,20150718,17,设某班有 m 个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率是多少？,试验二：生日问题,20150718,18,n=1000;p=0;m=50;%设该班的人数为 50for t=1:n a=;q=0;for k=1:m b=randperm(365);a=a,b(1);end c=unique(a);if length(a)=length(c)p=p+1;endendfprintf(任两人不在同一天生日的频率为：%fn,1-p/n);,试验二源程序,
7、20150718,19,clear;m=50;p1=1:365;p2=1:365-m,365*ones(1,m);p=p1./p2;p=1-prod(p);fprintf(至少两人同一天生日的概率为：%fn,p);,试验二的理论值计算,20150718,20,20150718,21,function buffon(l,d,n)%l平行线间距%d针长，n 为投针次数 m=0;for i=1:n alpha=rand(1)*pi;y=rand(1)*d/2;if y=l/2*sin(alpha)m=m+1;endendfprintf(针与平行线相交的频率为：%fn,m/n);fprintf(计算出
8、来的 pi 为：%fn,2*n*l/(m*d);,源程序2.1,20150718,22,function pai,number=buffon1(a,b,N)%a，b分别为平行线间距和针长，N 为投针次数 x=unifrnd(0,pi,N,1);y=unifrnd(0,a,N,1);number=0;%相交计数器 for i=1:N if y(i)=b*sin(x(i)number=number+1;end end pai=2*b*N/(a*number);fprintf(针与平行线相交的频率为：%fn,number/N);fprintf(计算出来的 pi 为：%fn,pai);,源程序2.2,
9、20150718,23,2 报童的卖报问题,问题：报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上将卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，当然应有abc。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。,20150718,24,分析：报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的,因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的
10、期望值，以下简称平均收入。,20150718,25,记报童每天购进n份报纸时平均收入为G(n)，考虑到需求量为r的概率是p(r)，所以,假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是p(r),（r0,1,2,）。,问题归结为在p(r)、a、b、c已知时，求n使G(n)最大。,20150718,26,通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量，这时p(r)转化为概率密度函数f(r)，(1)式变为：,计算,20150718,27,使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(3)，或,20150718,28,根据需求量的概率密度
11、f(r)的图形很容易从(4)式确定购进量n。,n=?,在图中，用 分别表示曲线f(r)下的两块面积，则(3)式又可记作：,20150718,29,因为当购进n份报纸时：,是卖不完的概率；,是卖完的概率；,购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱ab与退回一份赔的钱bc之比。,(3)(或5)式表明：,20150718,30,当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。,例如：若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份、均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能平均收入最高，这个
12、最高收入是多少？,20150718,31,解：,查表可得,n0.32516,即每天购进516份报纸。,按照(2)式，可得最高收入G23.484元。,因为,按(4)式，,20150718,32,问题：,人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者）.任何两人之间的接触是随机的.当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的.通过实际数据或经验掌握了这些随机规律.,怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？,3 传染病的随机感染,一个完整的建模介绍,求解方法?,20150718,33,(参见美-堆盐问题87A求解),20150718,34,模型假设,注：符号说明,20150718,3
13、5,排列与组合，概率计算,随机变量与分布函数，离散型随机变量的分布律,二项分布,建模目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数 的关系.,模型分析,20150718,36,模型建立,利用二项分布的性质并注意到人群总数为n,有,记假设2中任何二人接触的概率为,一健康人与一名指定病人接触的概率.,一健康人每天接触的人数服从二项分布.,（2）,再记一健康人与一名指定病人接触并感染的概率为,（3）,20150718,37,模型建立,(4),一健康人（每天）被感染的概率,20150718,38,模型建立与求解,为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行简化。,（7）,最后得到,（8）,（9）,
14、方法、推导,20150718,39,模型求解数据处理,20150718,40,模型解释结果分析,20150718,41,模型评注,（模型推广、或模型优缺点）,20150718,42,模型评注,注:参赛论文除摘要外，还要附上参考文献、程序、数据处理情况等.,20150718,43,4 为什么航空公司要超订机票,问题：你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们
15、办理超过飞机定员的订票手续。而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。,建模练习,20150718,44,根据当前情况，考虑超员订票问题：航空公司安排较少的从A地到B地航班 机场及其外围加强安全性 乘客的恐惧 航空公司的收入迄今损失达数千万美元 建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。确保你的模型反映
16、上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。,20150718,45,5.1 统计量,均值：mean(x)中位数：median(x)标准差：std(x)方差：var(x),5 假设检验,20150718,46,偏度：skewness(x)峰度：kurtosis(x),20150718,47,对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.,5.2 假设检验,20150718,48,1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构
17、造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验.参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明确的判断.,2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如：要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.,20150718,49,假设检验的一般步骤,20150718,50,（一）单个正态总体均值的检验,5.2.1 参数检验,20150718,51,小 结,20150718,52,（二）单个正态总体方差的检验,20150718,53,（三）两个正态总体均值的检验,20150718
18、,54,（四）两个正态总体方差的检验,20150718,55,5.2.2 非参数检验,（二）概率纸检验法,概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用他们，可以很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多.,返回,20150718,56,在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验.,h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差，alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：,1总体方差 已知时，总体均值的检验使用z检验,假设检验基本统计命令,20150718,57,h,s
19、ig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)tail 的取值：tail=0，检验假设“x 的均值等于 m”tail=1，检验假设“x 的均值大于 m”tail=-1，检验假设“x 的均值小于 m”tail的缺省值为 0，alpha的缺省值为 0.05.,返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.,20150718,58,例1.MATLAB统计工具箱中的数据文件gas.mat中提供了美国1993年1月份和2月份的汽油平均价格（price1,price2分别是1、2月份的
20、油价，单位为美分）,它是容量为20的双样本.假设1月份油价的标准偏差是每加仑4分币（=4），试检验1月份油价的均值是否等于115.,20150718,59,解 作假设：m=115.首先取出数据，用以下命令：load gas然后用以下命令检验 h,sig,ci=ztest(price1,115,4),返回：h=0，sig=0.8668，ci=113.3970 116.9030.,检验结果:1.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设：均值为115是合理的.2.sig值为0.8668,远超过0.5,不能拒绝零假设 3.95%的置信区间为113.4,116.9,它完全包括115,且精度很高.
21、,20150718,60,2总体方差 未知时，总体均值的检验使用t 检验,h,sig,ci=ttest(x,m,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：,返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.,tail=0，检验假设“x 的均值等于 m”tail=1，检验假设“x 的均值大于 m”tail=-1，检验假设“x 的均值小于 m”tail的缺省值为 0，alpha的缺省值为 0.05.,201
22、50718,61,返回：h=1，sig=4.9517e-004，ci=116.8 120.2.,检验结果:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的假设油价均值115是不合理的.2.95%的置信区间为116.8 120.2,它不包括115,故不能接受假设.3.sig值为4.9517e-004,远小于0.5,不能接受零假设.,例2.试检验例1中2月份油价price2的均值 是否等于115.,解 作假设：m=115，price2为2月份的油价，不知其方差，故用以下命令检验 h,sig,ci=ttest(price2,115),20150718,62,3两总体均值的假设检验使用 t 检验,h,s
23、ig,ci=ttest2(x,y,alpha,tail)检验数据 x，y 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail=0，检验假设“x 的均值等于 y 的均值”tail=1，检验假设“x 的均值大于 y 的均值”tail=-1，检验假设“x 的均值小于 y 的均值”tail的缺省值为 0，alpha的缺省值为 0.05.,返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为与x与y均值差的的 1-alpha 置信区间.,20150718,63,返回：h=1，sig=
24、0.0083，ci=-5.8,-0.9.,检验结果:1.布尔变量h=1,表示拒绝零假设.说明提出的假设“油价均值相同”是不合理的.2.95%的置信区间为-5.8,-0.9,说明一月份油价比二月份油价约低1至6分.3.sig-值为0.0083,远小于0.5,不能接受“油价均相同”假设.,例3.试检验例1中1月份油价price1与2月份 的油价price2均值是否相同.,解 用以下命令检验 h,sig,ci=ttest2(price1,price2),20150718,64,4非参数检验：总体分布的检验,MATLAB工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令:,（2）h=weibplot(x),此命
25、令显示数据矩阵x的正态概率图.如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态.而其它概率分布函数显示出曲线形态.,此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图.如果数据来自于Weibull分布，则图形将显示出直线性形态.而其它概率分布函数将显示出曲线形态.,返回,（1）h=normplot(x),20150718,65,例4.一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：459 362 624 542 509 58
26、4 433 748 815 505310 851试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布.,20150718,66,故障出现时该刀具完成的零件数如下(100次故障纪录)：459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885
27、610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851,20150718,67,解 1数据输入,2作频数直方图 hist(x,10),3分布的正态性检验 normplot(x),4参数估计：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x),（看起来刀具
28、寿命服从正态分布）,（刀具寿命近似服从正态分布）,估计出该刀具的均值为594，方差204，均值的0.95置信区间为 553.4962，634.5038，方差的0.95置信区间为 179.2276，237.1329.,20150718,68,5假设检验,已知刀具的寿命服从正态分布，现在方差未知的情况下，检验其均值 m 是否等于594.,结果：h=0，sig=1，ci=553.4962，634.5038.,检验结果:1.布尔变量h=0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设寿命均值594是合理的.2.95%的置信区间为553.5，634.5,它完全包括594,且精度很高.3.sig值为1,远超过0.5,不能拒绝零假设.,20150718,69,谢谢大家！,
