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1、1,班级：时间：年 月 日；星期,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,2,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,本次课学习：一、行列式计算（续）；二、克莱姆法则解线性方程组三、矩阵的定义与基本运算,下次课学习：一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；二、第二章第三节：逆矩阵,3,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,复习行列式计算的分类：1.行（列）和相等行列式方法：提公因子；2.爪形行列式方法：段一爪为零；3.行（列）递增行列式方法：逐行（列）相减多减少；4.分块行列式方法：类似二阶有零块；5.按行（列）展开行列式方法：行中很少元素不为零；6.递推行列式方法：递推公式是关键；7.范德蒙行列式方法：归纳证明
2、；8.利用展开式构造行列式方法：元素换值构造新行列式。展开式如下：,4,第二讲 行列式的运算,例1：计算下列行列式,分析：按照第一列展开,或,一、行列式计算（续）,1.递推行列式,5,第二讲 行列式的运算,6,解,按第一行展开，只有a、b不为0，其余均为0,7,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,8,证,用数学归纳法证。,当 n=2 时，,显然成立。,现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，,注意，是下标大的元素减下标小的元素,分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上乘幂相减，以得到相应的0,2.范德蒙行列式,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,9,目的是使第1列产生0,第三讲 行列式计算
3、续与矩阵的概念,10,证毕,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,11,例3（1992.3）计算,分析：首先，本行列式是个1、2行和相等行列式，其次，本例很像范德蒙行列式。因此，设法把第一行变成1。把第2行加到第一行，提取公因式，即为范德蒙行列式,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,12,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,3.构造行列式元素换值构造新行列式,（1）余子式求行列式性质3：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于零，即,或,ij时和为D,证：由行列式按照行列展开定理，,13,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,14,同理，用第j行元素对应取代第i行元素，则由于
4、行列式两行元素相等，得0值。,定理得证,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,由以上推理，我们可以用任意数取代第i行（列）元素，取代后，只改变原行列式第i行值，而其它代数余子式和元素值不变，如，用1，1，1取代第i行值，得：,15,由定理3及其推论还可以写成如下形式：,或,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,16,例2 设,求,分析：根据以上推理，该题相当于在D中把第一行元素变成1，1，1，1即可。,解,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,17,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,18,例3（2001.4）设行列式,则第4行各元素余子式之和的值为_分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即,
5、第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,19,二、克莱姆法则解线性方程组1.克莱姆法则,的系数行列式不等于零，即,(8),若线性方程组,教材中已注明，本法则证明在第二章给出,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,20,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,则方程组（8）有唯一解：,其中,2.线性方程组的分类,21,称（9）式为齐次线性方程组。,3.克莱姆法则判定方程组的解对于非齐次线性方程组，即对于方程组（8），有如下结论,定理4：如果线性方程组（8）的系数行列式D不等于零，则该方程组有解，且解唯一,定理4：如果线性方程组（8）无解或有两个及以上不同的解，则它的系数行列式一定为零,第三讲 行列式计算续与矩阵
6、的概念,22,一定是（9）式的解,零解。,定理5 如果齐次线性方程组（9）的系数行列式 D0，,则（9）式有唯一零解（即没有非零解）。,定理5 如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数,行列式必为零。,概括克莱姆法则及其推论1.非齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一解；若无解或多解，则系数行列式一定为零2.齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一零解；若有非零解，则系数行列式一定为零。,对于齐次线性方程组（9）而言，显然：,根据克莱姆法则，可以推出,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,23,分析;系数行列式是范德蒙行列式，,例8（2003.2）,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,24,例
7、9:问取何值时，齐次线性方程组,有非零解？,解,（10）,由定理5知，要使（10）有非零解，,必须其系数行列式D0。,得、或。,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,25,三、矩阵的概念与运算,1.矩阵定义,由mn个数 排成的,称为 m 行 n 列矩阵，,简称 mn 矩阵.,记作,称为矩阵 A 的元素，简称元，,数 位于矩,阵 A 的第 i 行第 j 列，,称为矩阵 A 的（i,j)元.,以数 为（i,j)元,的矩阵可简记作,或.,mn 矩阵 A 也记作.,m行n列数表:,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,26,1）行数与列数都等于 n 的矩阵 A 称为 n 阶矩阵,或 n 阶方阵.,矩阵 A 也
8、记作.,n 阶,2）行矩阵,行向量,3）列矩阵,列向量,4）同型矩阵,行、列数分别都相等的两个矩阵.,如果 与 是同型矩阵，,2.几个特殊矩阵,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,27,6）单位矩阵,简记作 E.,单位矩阵 E 的（i,j)元为：,7）对角矩阵,也记作,5）零矩阵,元素都是零的矩阵，,记作 O.,注：,不同型的零矩阵是不相等的,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,28,3.矩阵的基本运算,（1）矩阵的加法,定义2,矩阵A 与 B 的,和记作 A+B，,规定为,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是mn 矩阵):,注:,(i)A+B
9、=B+A,(ii)(A+B)+C=A+(B+C),设有两个 mn 矩阵 与，,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,29,记,显然有,A+(A)=O,由此规定矩阵的减法为,AB=A+(B),（2）数与矩阵相乘,定义3,规定为,设矩阵，,数 与矩阵A的乘积记作 或,-A称为矩阵 A 的负矩阵，,数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是mn 矩阵,、为常数),(i),(ii),(iii),第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,30,（3）矩阵与矩阵相乘,设有两个线性变换:,求出从 到 的线性变换.,1）乘法的历史,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,31,22,23,32,2）乘法的定义与运算规律,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,32,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,33,如:,是一个数.,注意：只有当左矩阵的列数等于右,矩阵的行数时，,两个矩阵才可以相乘(与顺序有关).,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,34,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,35,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,36,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,37,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,答案提示：,主要用递推法，注意到本题除首末两行外其余行元素和相等且等于0，故将其加到第1列，得到：,38,第三讲 行列式计算续与矩阵的概念,
