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1、1,比如，北京某交通路口某个方向共有4条汽车道，要研究应设几个直行道、几个左转弯道、几个右转弯道才能有利于交通畅通？应调查的变量是每天开往各个方向的车流量，根据各个时段的车流量情况设计车道。,2,解：不可取。因为这里检查的苹果是方便样本，不是随机样本，方便样本的代表性差。第二页：例1.1.3 注：收集有代表性的数据，是得到正确结论的基础。,3,解：1、调查其他养老院的价格；2、调查一个老年人每月的平均花费；3、各种工作人员的工资；4、制定合理的收费标准。,4,解：这种论证方法不可靠，因为该结论来自精心挑选的事例，它们都说明“乌鸦叫，没好兆”。这样的事例不具有代表性，由此所得的结论有很大的偏差。
2、要考察这种说明是否正确，可以通过实验来检验。随机选取一些人，在特定一段时间内记录他们听到乌鸦叫的时刻和发生事故的时刻，分析二者之间的关系，做出推断。,5,解：能部分反映教师的教学效果。设计方案：1、在教师上课后马上发放调查问卷；2、在教师不在的情况下发放问卷；3、发放问卷后当场收回。,6,解：y的值分别为2，0，0，2，2，2，2，0，0，0，0，0，没有频率稳定性。注：随机现象具有频率稳定性：对于任何由一些结果组成的事件，在相同条件下重复观测，该事件出现的次数与观测总数之比的极限通常存在。,7,Matlab代码：u=unidrnd(2,100,1)-1;p=mean(u),8,解：利用部分信
3、息推断总体的信息。部分北京市民的收入推断北京市民的平均收入。,9,解：假设每个数字出现是等可能的，在100次试验中1不出现的概率为(15/16)100=0.001574446根据小概率事件在一次试验中是几乎不会发生的，推断出该摇奖机出现各个数字的概率不是相等的。,10,解：类似例,x=unidrnd(2,1000,1)-1;f=;for i=1:12 if i11 n=i*10;elseif i=11 n=500;else n=1000;end y=x(1:n);f=f;sum(y=1)/n;end,11,第二章 概率,2.1 随机现象及基本概念2.2 概率空间2.3 随机变量及特征刻画2.4
4、 常用分布简介2.5 概率论中的几个重要结论2.6 附录：MATLAB语言及编程简介,12,证明：（1）,（2）,13,(1)四个中至少有一个发生,(2)恰好有两个发生,(3)至少有三个发生,(4)至多一个发生,14,解：(1),(2),B或C 发生必然导致A发生。,A发生必然导致B和C同时发生。,15,(3),注：C是蓝色区域,(4),A和B同时发生必然导致C发生。,A发生必然导致B和C不同时发生。,16,表示一小时内至多有k-1次呼唤；,表示一小时内有k次呼唤.,17,证明：设n(Ak)表示在n次试验中事件Ak出现的频数，因为这m个事件两两互不相容，所以事件 在n次试验中出现的频数为,18
5、,1、样本空间=(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反),A=第一次为正面=(正正正),(正正反),(正反正),(正反反),B=三次出现同一面=(正正正),(反反反),C=有正面=(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),19,2、样本空间=(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6,A=点数相同=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),B=其中一枚点数是另一枚的2倍=(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),C=点数之和为6=(1,5)
6、,(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),20,3、样本空间=(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)其中三维向量的第i分量表示第i号盒中的球数.,A=1号盒不空=(2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),B=1号盒和2号盒各一个球=(1,1,0),C=每盒至多一个球=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),21,解：“当掷一枚骰子时，出现1点的概率是1/6”的含义：在大量重复的掷一枚骰子试验中，出现1点的频率稳定于1/6，或者说出现1点的频率在1/6附近变化。,22,Matlab代码：x=unidrnd(6,100,
7、1);y=unidrnd(6,100,1);m=sum(xy)/100,注：该事件出现的概率应为(1-6/36)/2=5/12 0.4167,23,解：经过事件的运算后得到的仍然是个事件，这样我们就能计算该事件出现的概率。,24,简单的古典概型的习题.猜的答案是正确的概率为1/4=0.25.,25,证明:,26,解：A=1,2,3至少出现一个，,=1,2,3一个都不出现=抽中4,5,6,27,（问题较多）,解：A=有夫妇不相邻，=所有夫妇全相邻,取一把椅子作为参考点，称为a椅，记,28,与n对夫妇作成一排的结果比较,29,例 n对夫妇任意在一排2n个椅子上就座，求事件A=有夫妇不相邻的概率。,
8、n()=(2n)!,30,（问题较多）,解：记A=最大点数为5 Ak=最大点数不超过k点则,31,（问题较多）,32,解：设A=取出的n张牌包含了四种花色,A1=包含红心，A2=包含方片A3=包含黑心，A4=包含梅花 则,33,34,（问题较多）,35,36,37,解：由于三角形的边长均小于a，所以三角形与某平行线相交，一定是三角形的两条边与某平行线相交。设A12=边长为l1,l2的边与某直线相交，A13=边长为l1,l3的边与某直线相交，A23=边长为l2,l3的边与某直线相交，A=三角形与某平行线相交 则,38,=边长为l1的边与某直线相交,=边长为l2的边与某直线相交,=边长为l3的边与
9、某直线相交,39,40,（问题较多）,41,42,43,证明：假设，那么,44,45,证明：因为,所以,46,解：(1)用n表示“前n-1次出现反面，第n次出现正面”的结果，则样本空间、事件类及概率分别为,此随机试验的概率空间为,47,(2)记A=甲获胜，则A=2k-1:k1，从而,(3)记B=至多掷n次，则B=k:n k 1，从而,48,在样本空间与实数集之间建立对应关系，把随机现象统一转化到实数空间上来研究，这样可以利用有关实数的数学工具，使研究更方便。,49,证明:,因为 为随机变量，所以 也是随机变量.,（主要问题：不能按照定义来做，不分情况讨论.）,50,证明：设是随机变量，F(x)
10、=P(x)是它的分布函数。，则，由概率的性质得到,所以分布函数为增函数。,51,解：A=他等待30到50分钟之间=10 30 其中 表示他醒来的时刻.,52,解：不能，因为不能用表示出现1点这个随机事件1.注：证明结论不成立只需举出一个反例即可.,53,证明：,又,54,练习,55,解：由的定义,56,（主要问题：忽略A和B不相容，还讨论了bxa+b的情况，实际上A和B不相容，不会出现A、B同时出现的情况。）,57,练习,58,练习,其相应的分布函数为,59,解：(1)不放回的情况：,60,密度矩阵为,所以,不放回,61,(2)有放回的情况：,即服从几何分布，所以,62,几何分布（Geomet
11、ric distribution）,定义：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。,63,事实上，,64,65,证明：因为为非负整值随机变量，即只取非负整数值，所以,另一方面，,66,所以题设成立。,67,68,(主要问题：积分算错！),69,分析：设X取出的10枚螺栓中不合格的个数.1、确定分布类型：二项分布2、确定参数n=10,p=0.1,P(X3)=1-P(X3)0.0128,Matlab代码：a=1-binocdf(3,10,0.1),70,分析：设X在20次射击中击中目标的次数.1、确定分布类型：二项分布2、确定
12、参数n=20,p=0.8,P(X15)=P(X14)0.1958,Matlab代码：a=binocdf(14,20,0.8),71,分析：设X在100个新生儿中男婴的人数.1、确定分布类型：二项分布2、确定参数n=100,p=0.51,P(X=51)0.0796,Matlab代码：a=binopdf(51,100,0.51),72,分析：在3个孩子的家庭中，至少有1名男孩的概率为1-(1-0.51)3=0.8824，在1000个有3个孩子的家庭中，至少有1名男孩的家庭数近似为10000.8824=882.,Matlab代码:1-(1-0.51)3 或 a=1-binopdf(0,3,0.51)
13、,分析方法：用样本均值估计总体均值.,73,1、确定分布类型：二项分布2、确定参数n=1000,p=0.88243、做10000次模拟试验，计算平均值。,模拟方法,Matlab代码:x=binornd(1000,0.8824,10000,1);M=mean(x),74,分析：设X为在10次试验中出现点数之和为8的次数.1、确定分布类型：二项分布2、确定参数n=10,p=5/36,P(X=1)0.3616,Matlab代码：a=binopdf(1,10,5/36),75,分析：设X为在取出的4个球中红球的个数.1、确定分布类型：超几何分布2、确定参数M=15,K=5,n=4,P(X1)=1-P(
14、X=0)0.8462,Matlab代码：a=1-hygepdf(0,15,5,4),76,分析：设X为在取出的13张牌中黑桃的张数.1、确定分布类型：超几何分布2、确定参数M=52,K=13,n=13,P(X6)=1-P(X5)0.0516,Matlab代码：a=1-hygecdf(5,52,13,13),77,解：,78,分析：设X为在1小时内来答疑的人数.1、确定分布类型：Poisson分布2、确定参数=1.5,P(X4)=1-P(X4)0.0186,Matlab代码：a=1-poisscdf(4,1.5),79,分析：1、确定分布类型：Poisson分布2、确定参数=399/35=11.
15、4,(1)P(=0)1.119510-5,Matlab代码：a1=poisspdf(0,11.4),80,(2)P(20)=P(19)0.9868,Matlab代码：a2=poisscdf(19,11.4),(3)P(20)=1-P(19)0.0132,Matlab代码：a3=1-poisscdf(19,11.4),81,解：,Matlab代码：a1=normcdf(1.2,0,1)-0.5 a5=1-normcdf(1.2,0,1),82,解：该机器所生产轴的合格率为 P(0.49 0.51)0.9502,Matlab代码：normcdf(5.1,5.01,0.05)-normcdf(4.9
16、,5.01,0.05)normcdf(0.51,0.501,0.005)-normcdf(0.49,0.501,0.005),83,Matlab代码：365*24y=(normrnd(10000,10,3200,1)8760);p=mean(y),模拟方法:做3200次试验，计算退货的比率。,84,Matlab代码：x=unifrnd(0,1,100000,1);y=x.2.*exp(x.2);p=mean(y),输出结果：0.6296,85,Matlab的代码:y=unifrnd(0,1,1000,30);xm=(mean(y,2)-0.5)*sqrt(420);F=sum(xm-3,xm-
17、2.5,xm-2,xm-1.5,xm-1,xm-0.5,xm-0,xm0.5,xm1,xm1.5,xm2,xm2.5,xm3)/1000b=normcdf(-3:0.5:3,0,1)abs(b-F)%计算两者的偏差的 绝对值,86,87,解：(1),88,(2)由中心极限定理,Matlab代码：p=1-2*normcdf(-4,0,1),89,1、写出计算向量x的所有元素的平均值的M文件.,M文件的代码：function m=mymean(x)%mymean(x):计算向量的均值m=x(1);for j=2:length(x)m=m+(x(j)-m)/j;end,90,2、编写例的程序代码.,Matlab的代码:x=unifrnd(0,1,10000,1);E=for i=1:10 for j=1:10 if i=1 n=(j-1)*10+1;elseif i=2 n=500+(j-1)*10;else n=(i-2)*1000+(j-1)*10;end y=x(1:n);E=E,mean(y);endend,
