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1、例7.1.1 求过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程.,7.1 微分方程的基本概念,要求出满足上组关系式的函数y=y(x)，只需求一次不定积分，显然，所要求函数的一般形式为：,解:设所求的曲线方程y=y(x)，则据题意应满足,(C为任意常数)，,先看一个具体例题.,第十一讲 常微分方程,可将求解的问题和条件归结为以下方程：,几何上表示一簇曲线，将yx=1=2代入上式，可求出C=1,则 即为过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程.,含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程.,微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，叫微分方程的阶.,为一阶微分方程，,为二阶微分方程.,如:,7.
2、2 几种常见的一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式为我们主要讨论形式如下的微分方程：,1.可分离变量的微分方程,这时方程两边分别只含x和y，方程中的变量已被分离.对(7.2.1)两边积分，得,这就是所求的微分方程的通解，其中c是任意常数.,我们把形如的方程 称为可分离变量的方程.,2.齐次微分方程,的微分方程称为齐次方程.,如,于是(7.2.2)式化为,再分离变量，得,两边积分得,求出积分后，再用 代替u，便得所给齐次方程的通解.,3.一阶线性微分方程,当Q(x)=0时，称为一阶线性齐次方程；当Q(x)0时，称为一阶线性非齐次方程.,如,先求一阶线性齐次微分方程的通解.,分离变量，即得,两边积
3、分得,即,(C为任意常数),为一阶线性齐次微分方程的通解.,对,现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，利用“常数变易法”求其相应的一阶线性非齐次微分方程的通解.,将此代入方程,得:,即,积分后得,其中C是任意常数代入所设得：,(7.2.4)式应作为公式熟记.,(7.2.4),解：将已知微分方程分离变量，得,两边积分，,由此得,所以有通解,这里,解：将已给方程分离变量,两边积分,通解为,将x=0,y=0代入得,所求特解为,例7.2.3 解方程,解:原方程可写成,于是原方程变成,即,分离变量，有,两端积分，得,解:方程右边分子分母同除x,两边积分得,通解为,例7.2.5 解方程,解法1：,分离变量
4、，得,两边积分，得,即齐次方程的通解为,先解对应的齐次方程,解法2：直接用一阶线性微分方程通解公式(7.2.4)：,故原方程通解为,解：把y视为自变量，x视为因变量，方程化为,这里,使用公式(7.2.4)得所给方程的通解:,解：方程本身不是线性方程，若两边同除以y2，原方程变为:,该方程是一个线性方程，其通解为,原方程的通解为：,形如 的方程称为伯努利方程，,然后令,就可将其化为新未知函数u的一阶线性微分方程.,7.3 高阶微分方程,二阶及二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程.高阶微分方程的一般形式为：,或者,本节我们主要讨论可降阶的高阶微分方程及常系数线性微分方程.,1.可降阶的高阶微分方程
5、,对于有些高阶微分方程，我们可以通过适当的变量代换，把它们化为较低阶微分方程来求解，这种类型的方程称为可降阶的方程.这里我们将讨论三种容易降阶的高阶微分方程的求解法.,（1）型微分方程（2）型微分方程（3）型微分方程,这类方程的特点是右端仅含有自变量x，只要把作为新的未知函数，将原来的n阶方程化为新的未知函数 的一阶微分方程.两端积分，,得到一个(n1)阶微分方程,上式两端再一次积分，得,依此继续进行，接连积分n次，便得到原来的n阶微分方程的含有n个任意常数的通解.,这类方程的特点是方程中不显含未知函数y.,这是关于未知函数p的一阶微分方程若求得通解为,则原微分方程的通解为,这类方程的特点是方
6、程中不显含自变量x.,这是一个关于变量y、p的一阶微分方程，再按一阶方程的方法求解.,例7.3.1 解二阶微分方程,解:积分一次得,再积分一次,即为所求的通解.,两端积分,即,由条件 得,所以,两端再积分，得,例7.3.3 解方程,当p0,有,分离变量，得,两边积分，得,即,分离变量，得,故通解为,2.二阶线性微分方程解的结构,(7.3.1),若(7.3.1)式右端f(x)0，那么称方程是齐次的，,(7.3.2),否则称方程是非齐次的.当P(x),Q(x)都是常数时，称为二阶常系数线性微分方程,在实际问题中应用得较多的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，其一般形式为,下面我们讨论二阶线性微分方
7、程解的结构，这些结构可以推广到n阶线性微分方程.,以下定理均略去证明.,定理7.3.1 若y1,y2是方程(7.3.2)的两个特解,且 常数,则 就是方程(7.3.2)的通解.,常数，,因此,是方程y+4y=0的通解.,定理7.3.3 设非齐次线性方程(7.3.1)的右端f(x)是几个函数之和,如,3.二阶常系数齐次线性微分方程,我们看到，当r为常数时，指数函数 及其各阶导数只相差一个常数因子.,因此，我们用 来尝试.使 满足方程(7.3.3).,把 代入(7.3.3)，可得,由于，所以要想 是(7.3.3)的解，只要r满足,这样一来，求解二阶常系数齐次线性微分方程问题就能化为求解一个二次代数
8、方程(7.3.4)的问题.(7.3.4)的两个根r1 r2称为特征根，于是：,(2)当特征方程(7.3.4)有两个相等实根 时，方程(7.3.3)有一个解.为求另一个解y2，,，代入方程(7.3.3)，,方程(7.3.3)的通解为:,化简可得,为简便起见，不妨取u(x)=x,则,不难验证：是方程(7.3.3)的一个解.故方程(7.3.3)的通解为,表,综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解可归纳如下：,解:特征方程为,解得,则所求方程通解为,例7.3.5 解方程,于是所求方程通解为,故,所求方程通解为：,解:特征方程为+1=0，解得,4.二阶常系数非齐次线性微分方程,在
9、齐次方程(7.3.3)的求解问题解决之后，根据定理，只要求出非齐次方程(7.3.7)的一个特解y*，即可得到(7.3.7)的通解.,下面我们讨论f(x)具有如下形式时，如何用特定系数法求(7.3.7)的特解,代入(7.3.7)式，并消去 整理后，得,(7.3.8),(1)，其中是常数，是x的一个m次多项式；,代入(7.3.8)式，比较等式两端x同次幂系数，就可确定 值，从而所求特解为,返回,如果不是特征方程 的根，即 0，那么由(7.3.8)式可以看出Q(x)必须是m次多项式，令,如果是特征方程 单根，即,由(7.3.8)式可以看出Q(x)必须是m次多项式，Q(x)是m+1次多项式，令,可用同
10、样方法确定系数,从而所求特解为,如果是特征方程重根，即,分析(7.3.8)式两边可知，Q(x)应是m次多项式，Q(x)是m+2次多项式，即可设,综上所述，我们将结果列于下表:,表,其中 分别是x的l次、n次多项式.,类似于情形(1)中的讨论.可推得如下结论：方程,具有形如,的特解，其中:,解:方程对应的齐次线性方程的特征方程为,即,特征根,所以对应齐次方程的通解:,则,代入原方程，得:,所以特解为,所求通解为:,在 中取k=0，于是设特解,解:方程所对应的齐次方程为:,它的特征方程为,解得,对应齐次方程的通解为,由于=0不是特征方程根，所以设特解,代入方程，得,比较两端x同次幂系数，得,故所求通解为,齐次方程通解,计算y*,y*代入原方程，得,解:对应的齐次方程为y+4y=0,特征方程为,+i=+i不是特征方程根，,故设,比较同类项系数得,所以,所求通解为,解:由例知其对应齐次方程的通解为,下面分别求二个非齐次方程的特解：,对于，因为r=1不是特征根，所以设特解,由待定系数法知,故,对于，由上例知,故原方程的特解为,所求通解为,
