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1、4.4.3 参数方程的应用(1)-直线的参数方程,高中数学选修4-4坐标系与参数方程,请同学们回忆:,我们学过的直线的普通方程都有哪些?,两点式:,点斜式:,一般式:,温故知新,问题情景,求这条直线的方程.,M0(x0,y0),M(x,y),x,O,y,解：在直线上任取一点M(x,y),则,求这条直线的方程.,M0(x0,y0),M(x,y),x,O,y,|t|=|M0M|,x,y,O,M0,M,解:,所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.,这就是t的几何意义,要牢记,直线的参数方程(标准式）,建构数学,注意向量工具的使用.,x,M(x,y),O,M0(x0,y0
2、),y,|t|=|M0M|,并且，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.,探究思考,M0（x0，y0）,M（x，y）,x,y,O,t表示有向线段M0P的数量.|t|=|M0M|,t只有在标准式中才有上述几何意义,设M1,M2为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.,（1）|M1M2|,（2）M是M1M2的中点，则M对应的参数值,M1,M2,练 习,B,直线的参数方程可以写成这样的形式:,直线的参数方程(一般式）,小结:,1.直线参数方程的标准式,|t|=|M0M|,2.直线参数方程的一般式,4.4.3 参数方程的应用(1)-直线的参数方程的应用,高中数学选
3、修4-4坐标系与参数方程,1.求线段（弦）长,3.求轨迹问题,2.线段的中点问题,直线参数方程的应用,分析:,3.点M是否在直线上,1.用普通方程去解还是用参数方程去解;,2.分别如何解.,A,B,M(-1,2),x,y,O,例题选讲,因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.,三、例题讲解,若在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解此题呢？,把,示例分析,练习：,分析：此处的t的系数平方和不等于1，且 30因此t不具有参数方程标准式中t的几何意 义.要先化为标准式.,解：,代入方程得：,练习：,练习：,例3.当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km处生成,并以40km/
4、h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?,x,y,o,M,P,思考：在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？,小结:,1.直线参数方程,2.利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化求直线上两点间的距离.,3.注意向量工具的使用.,探究:直线的参数方程形式是不是唯一的,|t|=|M0M|,4.4.3 参数方程的应用(3)-椭圆的参数方程,高中数学选修4-4坐标系与参数方程,例1、如下
5、图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.,分析：,(1)点M的横坐标与点A的横坐标相同;,(2)点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.,而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.,问题分析：,解：,设xOA=,M(x,y),则,A:(acos,a sin),B:(bcos,bsin),由已知:,即为点M的轨迹参数方程.,消去参数得:,即为点M的轨迹普通方程.,例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,
6、过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.,问题分析：,2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长,且ab0.,归纳总结：,知识归纳,1.椭圆的标准方程:,注意椭圆的参数方程中参数的几何意义:,3.圆的标准方程:,4.圆的参数方程:,x2+y2=r2,注意的几何意义是,AOP=,2.椭圆的参数方程:,是AOx=,不是MOx=.,对比分析,【练习1】把下列普通方程化为参数方程:,【练习2】把下列参数方程化为普通方程:,巩固练习,练习2：已知椭圆的参数方程为(是参数)，则此椭圆的长轴长为_，短轴长为_，焦点坐标是_，离
7、心率是_,4,2,(,0),巩固练习,例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使点P到直线 l：x-y+4=0的距离最小.,分析1：,分析2：,分析3：,平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.,小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。,示例分析,例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。,示例分析,练习3:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.,练习4,1、动点P(x,y)在曲线 上变化，求2x+3y的最大值和最小值,2、取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹是.A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段,B,设中点M(x,y),x=2sin-2cos,y=3cos+3sin,练习1：,练习2：,练习3：,
