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1、线性方程组的几种形式,含m个方程n个未知量的线性方程组一般形式,方程组的矩阵形式为 Ax=b,其中,向量形式为,其中,3.5 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,1.齐次线性方程组解的性质,性质1 若 是齐次线性方程组(1)的两个解，则 也 是它的解.,齐次线性方程组,Ax=0(1),证明,因为 是(1)的解,因此,于是,即 也是方程组(1)的解.,从而齐次线性方程组若有非零解，则它就有无穷多个解.,若 是齐次线性方程组(1)的解，则其线性组合 也是其解.为任意常数.,由上述性质，易得：,性质2若 是齐次线性方程组(1)的解，则 也是 它的解(k为常数).,证明 由,得,即 也是方
2、程组(1)的解.,定义3.10 如果 是齐次线性方程组(1)的解向量 组中的一个极大无关组，则称 为方程组(1)的一个基础解系.,注：基础解系不唯一.,当一个齐次线性方程组只有零解时，该方程组没有基础解系，而当一个齐次线性方程组有非零解时，是否一定有基础解系？如果有的话，怎样去求基础解系？,定理3.13 如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵 A的秩 r(A)=rn,则它的基础解系一定存在，且每个基 础解系中恰好有n-r个解.,证明过程给出了求基础解系和通解的方法.,证明,因为r(A)=rn，对A实施初等行变换可化为下述 形式,与方程组Ax=0同解的方程组为,其中 为自由未知量.,对个自由未知量
3、分别取,则可得原方程组的n-r个解:,下面证明 是方程组Ax=0的一个基础解系.,首先证明 线性无关,设,则K有n-r阶子式,即r(K)=n-r.,所以 线性无关.,其次再证明方程组Ax=0的任意一个解,都是 线性组合.,因为,所以,即 是 的线性组合.,所以是方程组Ax=0的一个基础解系,因此方程组Ax=0的全部解为(为任意常数),定理的证明过程指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.,例1.求如下齐次线性方程组的一个基础解系.,例2.用基础解系表示如下线性方程组的全部解.,注意：当齐次方程组Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=n时,方程 组不存在基础解系，方程组Ax=0仅有零解；当 r(A)
4、=0(即A为零矩阵)时，任意n个线性无关的n 维列向量均为方程组Ax=0的基础解系.,二、非齐次线性方程组解的结构,定义,非齐次线性方程组Ax=b,当b=o,得到的齐次线性方程组Ax=0,称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组.,非齐次线性方程组Ax=b的解与它导出组Ax=0,的解之间有下列性质:,(1)如果 是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,是 其导出组的一个解,则 也是方程组Ax=b的一个解,因为,则,即 也是非齐次线性方程组Ax=b的解.,(2)如果 是非齐次线性方程组的两个解,则 是其导出组的解.,定理3.14 如果 是非齐次线性方程组的一个解,是 其导出组的全部解,则 是非齐次线性
5、方程组的全部解.,因为,则,即 是其导出组Ax=0的解.,证明:,由性质(1)知,加上其导出组的一个解还是非齐次线性方程组的一个解.,所以只需证明非齐次线性方程组的任一个解 一定是 与其导出组某一解 的和.,取,由性质(1)知,是导出组的一个解.,于是,即非齐次线性方程组的任一个解均为其一个解 与其导出组某解之和.,由此定理可知,如果非齐次线性方程组有解,则只需求出它的一个解,并求出其导出组的基础解系,则其全部解可以表示为,为任意常数),如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解,则该非齐次线性方程组只有一个解,如果其导出组有无穷多个解,则它也有无穷多个解.,(,例4.用基础解系表示如下线性方程组的
6、全部解.,例5,作业,P16120（2）23（2）24,线性方程组的几种形式,含m个方程n个未知量的线性方程组一般形式,齐次方程组也有相应的三种形式,1向量组的线性组合与线性表示,线性表出的充要条件是,对于行向量组只需将其每一个向量转置即可.,2向量组线性相关、线性无关,定义1设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关.,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关.,由此定义知：,（1）向量组 线性相关的充要条件为齐次线性方 程组（*）存在非零解；,（2）向量组 线性无关的充要条件为齐次线性方 程组（*）只有零解；,定理3.5 对于m维列向量组,其中,则 线性相关的
7、充分必要条件是:以 为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n.,对于m维行向量组,其中,则 线性相关的充分必要条件是:以 为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n.,m维列向量组 线性无关的充分必要条件是:以 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n.,推论1 设n个n维向量(j=1,2,n),则 向量组 线性相关的充分必要条件是,或者说，上述向量 组线性无关的充分必要条件是,推论2 当向量组中所含的向量的个数大于向量的维数 时，此向量组必线性相关.,定理3.7,向量组 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示,定理3.6 若向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关.,推论
8、 线性无关的向量组中任一部分组线性无关.,推论 设向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B 线性无关，则,推论 设向量组A和B可以相互线性表示，若A和B都 线性无关，则,3向量组的极大线性无关组与秩,线性相关.,若满足：,设 是一个向量组，它的某一个部分组,线性无关；,则称为的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组.,定义1,注,1、一个向量组的极大无关组不是唯一的.,2、线性无关的向量组其极大无关组是其本身.,一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同.,一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,任何非零向量组必存在极大无关组.,向量组与它的任一极大无关组等价.,定义3.9 向量组 的极大无
9、关组所含向量个数，称为向量组的秩,记作：,定理3.10 A为m行n列矩阵，则r(A)=r的充分必要条件为：A的行(列)秩为r.,向量组的极大线性无关组与秩的求法,以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换，将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则各非零行的首非零元所在的列对应的向量即为所求向量组的极大线性无关组.,4线性方程组解的判定方法,用初等行变换求解线性方 程组的方法.,定理3.1 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是:r(A b)=r(A).且当r(A b)=n时有唯一解;当r(A b)n时有无穷多解.,定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是:r(A)n.,5齐次线性方程组解
10、的性质 基础解系和通解的求法.,定义3.10 如果 是齐次线性方程组Ax=0的解向量 组中的一个极大无关组，则称 为方程组 Ax=0的一个基础解系.,定理 3.13 如果齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵 A的 秩 r(A)=rn,则它的基础解系一定存在，且每个 基 础解系中恰好有n-r个解.,若 是方程组Ax=0的一个基础解系,则其全部解为(为任意常数),6.非齐次线性方程组解的结构及通解求法,定理3.14如果 是非齐次线性方程组的一个解,是其 导出组的全部解,则 是非齐次线性方程组 的全部解.,由此定理可知,如果非齐次线性方程组有解,则只需求出它的一个解,并求出其导出组的基础解系,则其全部解
11、可以表示为,为任意常数),如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解,则该非齐次线性方程组只有一个解,如果其导出组有无穷多个解,则它也有无穷多个解.,(,本章学习要点,学习内容,向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解,学习要求,1了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.,2理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向
12、量组线性相关、线性无关的 有关性质及判别法.,3理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握求向量 组的极大线性无关组的方法.,4了解向量组等价的概念，理解向量组的秩的概念，了 解矩阵秩与其行（列）向量组的秩之间的关系会求向 量组的秩.,5掌握线性方程组有解和无解的判定方法,掌握用初等 行变换求解线性方程组的方法.,6理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次 线性方程组的基础解系和通解的方法.,7.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念,并会 求其通解.,关于矩阵可逆的几个等价条件,1 n阶矩阵A可逆(非奇异)；,2 A的行列式不为零，即;,3 A经过一系列初等变换可化为单位矩阵I;,4 A与单位矩阵I等价，即;,5 A可表示成若干初等矩阵的乘积.,AI,6 A为满秩，即.,7 齐次线性方程组Ax=0只有零解.,8 线性方程组Ax=b只有唯一解.,9 A的行向量组线性无关.,10 A的行向量组的秩为n.,11 A的 列向量组线性无关.,12 A的列向量组的秩为n.,13 A的行(列)向量组与标准单位向量组等价.,
