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1、计算机算法设计与分析（第4版）,王晓东 编著电子工业出版社,第1章 算法概述,学习要点:理解算法的概念。理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联系。掌握算法的计算复杂性概念。掌握算法渐近复杂性的数学表述。掌握用C+语言描述算法的方法。,算法(Algorithm),算法是指解决问题的一种方法或一个过程。算法是若干指令的有穷序列，满足性质：(1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。(4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。,程序(Program),程序是算法用某种程序设计语
2、言的具体实现。程序可以不满足算法的性质(4)。例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。,问题求解(Problem Solving),理解问题,精确解或近似解选择数据结构算法设计策略,设计算法,算法复杂性分析,算法复杂性=算法所需要的计算机资源算法的时间复杂性T(n)；算法的空间复杂性S(n)。其中n是问题的规模（输入大小）。,算法的时间复杂性,（1）最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n)=max T(I)|size(I)=n（2）最好情况下的时间复杂
3、性 Tmin(n)=min T(I)|size(I)=n（3）平均情况下的时间复杂性 Tavg(n)=其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的概率。,算法渐近复杂性,T(n),as n;(T(n)-t(n)/T(n)0，as n;t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。在数学上，t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n)简单。,渐近分析的记号,在下面的讨论中，对所有n，f(n)0，g(n)0。（1）渐近上界记号OO(g(n)=f(n)|存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 f(n)cg(n)（2）渐近下界记号(g(n)=f(n)|
4、存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 cg(n)f(n),（3）非紧上界记号o o(g(n)=f(n)|对于任何正常数c0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 f(n)0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 cg(n)f(n)等价于 f(n)/g(n)，as n。f(n)(g(n)g(n)o(f(n),（5）紧渐近界记号(g(n)=f(n)|存在正常数c1,c2和n0使得对所有n n0有：c1g(n)f(n)c2g(n)定理1：(g(n)=O(g(n)(g(n),渐近分析记号在等式和不等式中的意义,f(n)=(g(n)的确切意义是：f(n)(g(n)。一般情况下，等式和不
5、等式中的渐近记号(g(n)表示(g(n)中的某个函数。例如：2n2+3n+1=2n2+(n)表示 2n2+3n+1=2n2+f(n)，其中f(n)是(n)中某个函数。等式和不等式中渐近记号O,o,和的意义是类似的。,渐近分析中函数比较,f(n)=O(g(n)a b;f(n)=(g(n)a b;f(n)=(g(n)a=b;f(n)=o(g(n)a b.,渐近分析记号的若干性质,（1）传递性：f(n)=(g(n)，g(n)=(h(n)f(n)=(h(n)；f(n)=O(g(n)，g(n)=O(h(n)f(n)=O(h(n)；f(n)=(g(n)，g(n)=(h(n)f(n)=(h(n)；f(n)=
6、o(g(n)，g(n)=o(h(n)f(n)=o(h(n)；f(n)=(g(n)，g(n)=(h(n)f(n)=(h(n)；,（2）反身性：f(n)=(f(n)；f(n)=O(f(n)；f(n)=(f(n).（3）对称性：f(n)=(g(n)g(n)=(f(n).（4）互对称性：f(n)=O(g(n)g(n)=(f(n)；f(n)=o(g(n)g(n)=(f(n)；,（5）算术运算：O(f(n)+O(g(n)=O(maxf(n),g(n)；O(f(n)+O(g(n)=O(f(n)+g(n)；O(f(n)*O(g(n)=O(f(n)*g(n)；O(cf(n)=O(f(n)；g(n)=O(f(n)
7、O(f(n)+O(g(n)=O(f(n)。,规则O(f(n)+O(g(n)=O(maxf(n),g(n)的证明：对于任意f1(n)O(f(n)，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有n n1，有f1(n)c1f(n)。类似地，对于任意g1(n)O(g(n)，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n n2，有g1(n)c2g(n)。令c3=maxc1,c2，n3=maxn1,n2，h(n)=maxf(n),g(n)。则对所有的 n n3，有f1(n)+g1(n)c1f(n)+c2g(n)c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n)c32 maxf(n),g(n)=2c3h(n)=O(ma
8、xf(n),g(n).,算法渐近复杂性分析中常用函数,（1）单调函数单调递增：m n f(m)f(n);单调递减：m n f(m)f(n);严格单调递增：m f(n).（2）取整函数 x：不大于x的最大整数；x：不小于x的最小整数。,取整函数的若干性质,x-1 0，有：n/a/b=n/ab;n/a/b=n/ab;a/b(a+(b-1)/b;a/b(a-(b-1)/b;f(x)=x,g(x)=x 为单调递增函数。,（3）多项式函数 p(n)=a0+a1n+a2n2+adnd；ad0;p(n)=(nd);f(n)=O(nk)f(n)多项式有界；f(n)=O(1)f(n)c;k d p(n)=O(n
9、k);k d p(n)=(nk);k d p(n)=o(nk);k d p(n)=(nk).,（4）指数函数 对于正整数m,n和实数a0:a0=1;a1=a;a-1=1/a;(am)n=amn;(am)n=(an)m;aman=am+n;a1 an为单调递增函数;a1 nb=o(an),ex 1+x;|x|1 1+x ex 1+x+x2;ex=1+x+(x2),as x0;,（5）对数函数 log n=log2n;lg n=log10n;ln n=logen;logkn=(log n)kl;log log n=log(log n);for a0,b0,c0,|x|1 for x-1,for a
10、ny a 0,logbn=o(na),（6）阶层函数Stirlings approximation,算法分析中常见的复杂性函数,小规模数据,中等规模数据,用C+描述算法,（1）选择语句：（1.1)if 语句：（1.2)？语句：,if(expression)statement;else statement;,exp1?exp2:exp3 y=x9?100:200;等价于：if(x9)y=100;else y=200;,（1.3)switch语句：,switch(expression)case 1:statement sequence;break;case 2:statement sequence
11、;break;default:statement sequence;,（2）迭代语句：,（2.1)for 循环：for(init;condition;inc)statement;（2.2)while 循环：while(condition)statement;（2.3)do-while 循环：do statement;while(condition);,（3）跳转语句：,（3.1)return语句：return expression;（3.2)goto语句：goto label;label:,（4）函数：,例：,return-type function name(para-list)body o
12、f the function,int max(int x,int y)return xy?x:y;,（5）模板template：,template Type max(Type x,Type y)return xy?x:y;int i=max(1,2)；double x=max(1.0,2.0)；,（6）动态存储分配：,（6.1）运算符new：运算符new用于动态存储分配。new返回一个指向所分配空间的指针。例：int x；y=new int；y=10；也可将上述各语句作适当合并如下：int y=new int；y=10；或 int y=new int(10)；或 int y；y=new int
13、(10)；,（6.2）一维数组：,为了在运行时创建一个大小可动态变化的一维浮点数组x，可先将x声明为一个float类型的指针。然后用new为数组动态地分配存储空间。例：float x=new floatn；创建一个大小为n的一维浮点数组。运算符new分配n个浮点数所需的空间，并返回指向第一个浮点数的指针。然后可用x0，x1，xn-1来访问每个数组元素。,（6.3）运算符delete：,当动态分配的存储空间已不再需要时应及时释放所占用的空间。用运算符delete来释放由new分配的空间。例：delete y；delete x；分别释放分配给y的空间和分配给一维数组x的空间。,（6.4）动态二维数
14、组：,创建类型为Type的动态工作数组，这个数组有rows行和cols列。,template void Make2DArray(Type*,当不再需要一个动态分配的二维数组时，可按以下步骤释放它所占用的空间。首先释放在for循环中为每一行所分配的空间。然后释放为行指针分配的空间。释放空间后将x置为0，以防继续访问已被释放的空间。,template void Delete2DArray(Type*,算法分析方法,例：顺序搜索算法,templateint seqSearch(Type*a,int n,Type k)for(int i=0;in;i+)if(ai=k)return i;return-
15、1;,（1）Tmax(n)=max T(I)|size(I)=n=O(n)（2）Tmin(n)=min T(I)|size(I)=n=O(1)（3）在平均情况下，假设：(a)搜索成功的概率为p(0 p 1)；(b)在数组的每个位置i(0 i n)搜索成功的概率相同，均为 p/n。,算法分析的基本法则,非递归算法：（1）for/while 循环循环体内计算时间*循环次数；（2）嵌套循环循环体内计算时间*所有循环次数；（3）顺序语句各语句计算时间相加；（4）if-else语句if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。,templatevoid insertion_sort(Type*a,in
16、t n)Type key;/cost times for(int i=1;i=0/c7 n-1,在最好情况下，ti=1,for 1 i n;在最坏情况下，ti i+1,for 1 i n;,对于输入数据ai=n-i,i=0,1,n-1，算法insertion_sort 达到其最坏情形。因此，由此可见，Tmax(n)=(n2),最优算法,问题的计算时间下界为(f(n)，则计算时间复杂性为O(f(n)的算法是最优算法。例如，排序问题的计算时间下界为(nlogn)，计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。堆排序算法是最优算法。,递归算法复杂性分析,int factorial(int n)if(n=0)return 1;return n*factorial(n-1);,
