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1、计算流体力学CFD(1),引言,流体力学的三种研究方法,流体力学的控制方程组,基本物理学原理,基本物理学原理,流体力学基本控制方程,连续性方程,质量守恒定律,动量方程,牛顿第二定律,能量方程,能量守恒定律,流动模型,流动模型,1）有限控制体模型,对于有连续性的流体，有下面两种模型：,2）无穷小流体微团,我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基本原理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。,流动模型,有限控制体模型,空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体,随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内,流动模型,无穷小流体微团模型,空间位置固定的无穷小流体微团，流体流过微团,沿流
2、线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流动控制方程经常用物质导数来表达。,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度,采用流体微团模型来理解物质导数的概念：,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,考虑非定常流动：,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,考虑非定常流动：,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运
3、动物质导数的示意图,在1点做如下的泰勒级数展开：,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,这里D/Dt代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。我们把D/Dt定义为密度的物质导数。,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,注意D/Dt是给定的流体微团在空间运动时，其密度的时间变化率。我们必须跟踪运动的流体微团，注意它通过点1时密度的变化。,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数D
4、/Dt与偏导数/t不同，/t是在固定点1时观察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,向量算子,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,D/Dt是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,/t叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时
5、间变化率。,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,物质导数可用于任何流场变量，比如Dp/Dt、DT/Dt等,流体微团在流场中的运动物质导数的示意图,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口向里进时，同时被雪球击中。,洞内温度比洞外温度低所引起的温降,迁移导数,物质导数,当地导数,迁移导数,被雪球击中所引起的温降,当地导数,总的温降,物质导数,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,物质导数,全微分：,对时间的全导数：,物质导数（运动流体微团的时间变化率）,物质导数,物质导数在本质上与对时间的全导数相同。,对时间的全
6、导数：,速度散度及其物理意义,速度散度 这一表达式也经常出现在流体动力学方程中。,随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内,速度散度及其物理意义,考虑如图所示随流体运动的控制体。这个控制体在运动中，总是由相同的流体粒子组成，因此它的质量是固定的，不随时间变化。,随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内,速度散度及其物理意义,但是，当它运动到流体不同的区域，由于密度不同，它的体积和控制面会随着时间改变。,随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内,速度散度及其物理意义,也就是说，随着流场特性的变化，这个质量固定的、运动着的控制体，体积不断地增大
7、或减小，形状也在不断地改变着。,速度散度及其物理意义,速度散度的物理意义：是每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。,连续性方程,空间位置固定的有限控制体模型,空间位置固定的有限控制体模型,空间位置固定的有限控制体模型,连续性方程,质量守恒定律,通过控制面S流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率,空间位置固定的有限控制体模型,空间位置固定的有限控制体模型,通过控制面S流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率,或,空间位置固定的有限控制体模型,空间位置固定的有限控制体模型,连续性方程：,随流体运动的有限控制体模型,随流体运动的有限控制体模型,随流体运动的有限控
8、制体模型,连续性方程,质量守恒定律,有限控制体的总质量为：,随流体运动的有限控制体模型,随流体运动的有限控制体模型,连续性方程：,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,连续性方程,质量守恒定律,流出微团的质量流量微团内质量的减少,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,X方向的净流出量为：,流出微团的质量流量 微团内质量的减少,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,Y方向的净流出量为：,流出微团的质量流量 微团内质量的减少,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,Z方向的净流出量为
9、：,流出微团的质量流量 微团内质量的减少,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,微团内质量增加的时间变化率为：,流出微团的质量流量 微团内质量的减少,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,流出微团的质量流量微团内质量的减少,或,空间位置固定的无穷小微团模型,空间位置固定的无穷小微团模型,或,连续性方程：,随流体运动的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,流体微团的质量：,连续性方程,质量守恒定律,随流体运动的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,连续性方程,质量守恒定律,随流体运动的无穷小微团模型,随流体运动的
10、无穷小微团模型,连续性方程,质量守恒定律,随流体运动的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,连续性方程：,方程不同形式之间的转换,空间位置固定的有限控制体模型,随流体运动的有限控制体模型,空间位置固定的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,方程不同形式之间的转换,空间位置固定的有限控制体模型,空间位置固定的无穷小微团模型,方程不同形式之间的转换,空间位置固定的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,积分形式与微分形式的重要注释,空间位置固定的有限控制体模型,随流体运动的有限控制体模型,空间位置固定的无穷小微团模型,随流体运动的无穷小微团模型,积分形式与微分形式的重要注释,积分形
11、式的方程允许出现间断，微分形式的方程要求流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断（如激波）时，这一点尤其重要。,动量方程,动量方程,动量方程,牛顿第二定律,动量方程,力的两个来源：,1）体积力：直接作用在流体微团整个体积微元上的力，而且作用是超距离的，比如重力，电场力，磁场力。,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,力的两个来源：,2）表面力：直接作用在流体微团的表面。,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,表面力的两个来源：,1）压力,2）粘性力,动量方程,粘性力的两个来源：,1）正应力,2）切应力,动量方程,切应力：与流体剪切变形的时间变化
12、率有关，如下图中的xy,动量方程,正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，如下图中的xx,动量方程,作用在单位质量流体微团上的体积力记做，其X方向的分量为,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,作用在流体微团上的体积力的X方向分量,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,作用在流体微团上的X方向的压力,动量方程,作用在流体微团上的X方向的正应力,动量方程,作用在流体微团上的X方向的切应力,动量方程,作用在流体微团上的X方向总的表面力,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,作用在流体微团上的X方向总的力：,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,作用在流体微团上的X方向总的力：,动量方程,运动流体微
13、团的质量：,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,运动流体微团的X方向的加速度：,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,由牛顿第二定理得粘性流X方向的动量方程：,随流体运动的无穷小微团模型,动量方程,类似地，可得Y方向和Z方向的动量方程：,动量方程,三个方向的动量方程：,以上为非守恒形式的纳维斯托克斯方程(Navier-Stokes方程)，简称非守恒形式的NS方程。,动量方程,非守恒形式的的NS方程可以转化为如下守恒形式的NS方程,动量方程,牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率(也就是速度梯度)成正比。,在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以看成牛顿流体。,动量方程,对牛顿流体，有,动量
14、方程,完整的NS方程守恒形式：,能量方程,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,能量方程,能量守恒定律,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,流体微团内能量的变化率,流入微团内的净热流量,体积力和表面力对微团做功的功率,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,作用于速度为V的流体微团上的体积力，做功的功率为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,对比下图作用在面adhe和面bcgf上的压力，则压力在X方向上做功的功率为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,类似地，在面abcd和面efgh上，切应力在X方向上做功的功率为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量
15、通量,所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在X方向上做功的功率为：,能量方程,所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包括X方向、Y方向、Z方向）为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,流体微团内能量的变化率,流入微团内的净热流量,体积力和表面力对微团做功的功率,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,流入微团的净热流量来源两个方面：,1）体积加热，如吸收或释放的热辐射。,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,流入微团的净热流量来源两个方面：,2）由温度梯度导致的跨过表面的热输运，即热传导。,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,定义 为单位质量的体积加热率；运
16、动流体微团的质量为，因此，微团的体积加热为,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,考虑面adhe和面bcgf，热传导在X方向对流体微团的加热为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,热传导在X、Y、Z三个方向对流体微团的加热为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,因此，流入微团内的净热流量为：,能量方程,根据傅立叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的温度梯度成正比，设k为热导率，则,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,因此，流入微团内的净热流量可写为：,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,流体微团内能量的变化率,流入微团内的净热流量,体积力和表面力对微团
17、做功的功率,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,跟随流体运动的微团的能量有两个来源：,1）由分子随机运动而产生的内能，定义单位质量内能为e,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,跟随流体运动的微团的能量有两个来源：,2）流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,运动流体微团的质量为，因此，流体微团内能量的变化率为,能量方程,随流体运动的无穷小微团的能量通量,流体微团内能量的变化率,流入微团内的净热流量,体积力和表面力对微团做功的功率,根据能量守恒定律，有,能量方程,流体微团内能量的变化率,流入微团内的净热流量,体积力和表面力对微团做功
18、的功率,于是能量方程（非守恒形式）为：,能量方程,只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）为：,只用内能e表示的能量方程中不包含体积力项。,能量方程,只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：,根据，,能量方程,对牛顿流体，有,能量方程,只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：,能量方程,只用内能e表示的能量方程（守恒形式）为：,能量方程,用总能 表示的能量方程（守恒形式）为：,流体力学控制方程的总结与注释,粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程,粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程,非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：,1.连续性方程,非
19、守恒形式：,守恒形式：,粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程,非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：,2.动量方程,非守恒形式：,X方向：,Y方向：,Z方向：,粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程,非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：,2.动量方程,守恒形式：,X方向：,Y方向：,Z方向：,粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程,非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：,3.能量方程,非守恒形式：,粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程,非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：,3.能量方程,守恒
20、形式：,无粘流欧拉(Euler)方程,非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：,1.连续性方程,非守恒形式：,守恒形式：,无粘流欧拉(Euler)方程,非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：,2.动量方程,非守恒形式：,X方向：,Y方向：,Z方向：,无粘流欧拉(Euler)方程,非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：,2.动量方程,守恒形式：,X方向：,Y方向：,Z方向：,无粘流欧拉(Euler)方程,非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：,3.能量方程,非守恒形式：,无粘流欧拉(Euler)方程,守恒形式：,关于控制方程的注释,关于控制方程的注释,连续性方程、动量方程、
21、能量方程共有5个，但有六个未知的流场变量：,关于控制方程的注释,在空气动力学中，通常假设气体是完全气体（分子间作用力可忽略），状态方程是：,状态方程提供了第6个方程，但引进了第七个未知量：温度T,关于控制方程的注释,用以封闭整个方程组的第七个方程必须是状态参量之间的热力学关系。比如：,对常比热容完全气体，这个关系可以是：,其中的 是定容比热。这个方程有时候也被称为量热状态方程。,物理边界条件,物理边界条件,无论流动是波音747飞机周围的流动、亚声速风洞内的流动，还是流过一个风车流动，控制方程都是相同的。然而，尽管流动的控制方程是相同的，可这些情形中流动却是完全不同的。为什么会这样的呢？差异是哪
22、里产生的呢？,物理边界条件,答案是边界条件。不同的边界条件，有时还包括初始条件，使得同一个控制方程得到不同的特解。,物理边界条件,对于粘性流动，物面上的物理边界条件有物面速度无滑移边界条件和物面温度边界条件。,物面速度无滑移边界条件指：紧挨物面的气流与物面之间的相对速度为零。即：,在物面（对于粘性流动）,物理边界条件,大部分粘性流动的物面温度边界条件要么给定一个常数作为壁面温度，即,在物面,要么假设壁面为绝热壁，即,在物面,物理边界条件,对于无粘流动，物面上唯一的物理边界条件是法向速度为零边界条件。,也就是说物面上的流动与物面相切。,在物面（对于无粘流动）,物理边界条件,无论是粘性流还是无粘流
23、，根据问题的不同，流场中不是物面的地方有多种不同类型的边界条件。,比如对于流过固定形状管道的流动，应该在管道的入口和出口有适合的入流和出流边界条件。,比如对于已知来流中的飞行物，则给定自由来流条件作为物体四周无穷远处的边界条件。,适合CFD使用的控制方程,适合CFD使用的控制方程,守恒变量：,非守恒变量：,适合CFD使用的控制方程,非守恒变量可以由守恒变量求出：,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是守恒变量。,非守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是非守恒变量。,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一个优点：,守恒形式的
24、控制方程为算法设计和编程计算提供了方便。,守恒形式的连续性方程、动量方程和能量方程可以用同一个通用方程来表达，这有助于计算程序的简化和程序结构的组织。,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,U,F,G,H,J都是列向量。,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,对于无粘或粘性流动：,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,对于无粘流动：,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,对于粘性流动：,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,对于粘性流动
25、：,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,对于粘性流动：,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：,列向量U被称为解向量。,列向量F,G,H被称为通量向量（或通量项）。,列向量J代表源项（当体积力和体积热流可忽略时等于零）,适合CFD使用的控制方程,在某些问题中，非定常的瞬时流场是我们最感兴趣的。这类问题为非定常问题。,对其他一些问题，需要得到定常解，这类问题为定常问题。,适合CFD使用的控制方程,求解定常问题，最好的方式是求解非定常方程，用长时间的渐进解趋于定常状态。这种方法称为求解定常流动的时间相关算法。,适合CFD使用的控制方程
26、,上面方程的求解采用了时间推进的方式，也就是说，相关的流动变量是按时间步，一步步推进求解的。,适合CFD使用的控制方程,时间推进的方式,解向量U的分量通常就是每一时间步直接被求解的未知函数，右边的空间导数项被看成是已知的。,通过某种方式求出右边的空间导数项，比如可以用上一个时间步的结果计算出方程右边的这些项。,适合CFD使用的控制方程,在包含激波的流场中，流场的原始变量p,u,T等在跨过激波时，会发生急剧的不连续变化。,采用激波捕捉法计算含激波的流场时，是让激波作为流场计算的直接结果，自然而然地出现在计算区域里，而不必对激波本身进行特殊的处理。,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程相比
27、非守恒形式控制方程的第二个优点：,采用激波捕捉法计算含激波的流场时，应该采用守恒形式的控制方程，以使计算结果光滑、稳定。,如果采用非守恒形式，流场计算结果在激波上下游出现空间振荡（抖动），激波的位置也可能不对，甚至计算不稳定。,适合CFD使用的控制方程,守恒形式的控制方程使用通量变量作为未知函数，而通量变量在跨过激波时的变化要么为零，要么很小。,适合CFD使用的控制方程,与把原始变量作为未知函数的非守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉法数值解的质量。,计算流体力学CFD(2),离散化的基本方法,引言,引言,理论上，根据偏微分方程的解能得到流场中任意点上流场变量的值。,离散网格点,引言,实际
28、上，我们采用代数差分的方式将偏微分方程组转化为代数方程组。,离散网格点,引言,通过求解代数方程组获得流场中离散网格节点上的变量值。,离散网格点,引言,从而，使得原来的偏微分方程组被“离散化”了。,离散网格点,引言,有限差分基础,有限差分基础,离散网格点,泰勒级数展开：,有限差分基础,泰勒级数展开：,差分表达式,截断误差,有限差分基础,一阶向前差分：,上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边(i+1,j)点的信息，没有左边(i-1,j)点的信息，且精度为一阶,有限差分基础,离散网格点,泰勒级数展开：,有限差分基础,泰勒级数展开：,有限差分基础,一阶向后差分：,上述差分表达式用到了(i,j)点及其
29、左边(i-1,j)点的信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶,有限差分基础,两式相减得：,有限差分基础,得：,有限差分基础,二阶中心差分：,上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j)点的信息，(i,j)点位于它们中间，且精度为二阶,有限差分基础,Y方向的差分表达式：,有限差分基础,两式相加得：,有限差分基础,得：,二阶中心差分（关于二阶导数）,有限差分基础,对Y方向的二阶导数有：,二阶中心差分（关于Y方向二阶导数）,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,上式对y求导得：,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,上式对y求导得：,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,两式相
30、减得：,6,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,6,有限差分基础,二阶混合偏导数的二阶精度中心差分,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,二阶偏导数，四阶精度中心差分,高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。,有限差分基础,在边界上怎样构造差分近似？,边界网格点,有限差分基础,向前差分，只有一阶精度。,边界网格点,有限差分基础,在边界上如何得到二阶精度的有限差分呢？,边界网格点,有限差分基础,不同于前面的泰勒级数分析，下面采用多项式来分析。,边界
31、网格点,有限差分基础,设,边界网格点,在网格点1，,在网格点2，,在网格点3，,有限差分基础,边界网格点,得,有限差分基础,边界网格点,对y求导得：,在边界点1，,有限差分基础,边界网格点,得：,有限差分基础,边界网格点,根据,知,为三阶精度,有限差分基础,边界网格点,故,为两阶精度,为三阶精度,有限差分基础,边界网格点,为单侧差分,差分方程,差分方程,对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。,差分方程,考虑非定常一维热传导方程：,差分方程,差分方程,差分方程,差分方程,偏微分方程：,差分方程：,截断误差：,差分
32、方程,差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有网格点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。,差分方程,当网格点的数量趋于无穷多，也就是,时，差分方程能否还原为原来的微分方程呢？,差分方程,截断误差：,截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微分方程。,差分方程,从而差分方程确实趋近于原微分方程，,如果，,截断误差趋于零，,此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。,差分方程,原微分方程与相应的差分方程之间的区别,截断误差：,差分方程,原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别,离散误差：,显式方法与隐式方法,显式方法,显式方法,显式方法,上述方程是抛物型方程，可以推进求解
33、，推进变量是时间t,显式方法,边界条件已知,显式方法,边界条件已知,显式方法,显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。,隐式方法,隐式方法,克兰克尼科尔森格式,隐式方法,对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同时求解，才能求出这些未知量，这种方法就定义为隐式方法。,隐式方法,由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。隐式方法比显式方法需要更多、更复杂的计算。,隐式方法,隐式方法,A，B，Ki 均为已知量,隐式方法,A，B，Ki 均为已知量,隐式方法,在网格点2：,A，B，Ki 均为
34、已知量,T1 为边界条件，已知量,隐式方法,在网格点3：,A，B，Ki 均为已知量,在网格点4：,在网格点5：,隐式方法,A，B，Ki 均为已知量,在网格点6：,T7 为边界条件，已知量,隐式方法,于是有关于T2，T3，T4，T5，T6这五个未知数的五个方程,A，B，Ki 均为已知量,隐式方法,写成矩阵形式：,隐式方法,系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非零元素。,求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法（国内称为追赶法）求解。,显式方法与隐式方法的比较,显式方法与隐式方法的比较,对于显式方法，一旦x取定，那么t的取值必须受到稳定性条件的限制，
35、其取值必须小于等于某个值。否则，计算不稳定。因此，t必须取得很小，才能保持计算稳定，要算到某个给定的时间值，程序要运行很长时间。,显式方法与隐式方法的比较,隐式方法没有稳定性限制，可以取比显式方法大得多的t，仍能保持计算稳定。要计算某个给定的时间值，隐式方法所用的时间步数比显式方法少很多。,显式方法与隐式方法的比较,对某些应用来说，虽然隐式方法一个时间步的计算会比显式方法花的时间长，但由于时间步数少，总的运行时间可能比显式方法少。,显式方法与隐式方法的比较,另外，当t取得较大时，截断误差就大，隐式方法在跟踪严格的瞬态变化（未知函数随时间的变化）时，可能不如显式方法精确。,不过，对于以定常态为最
36、终目标的时间相关算法，时间上够不够精确并不重要。,显式方法与隐式方法的比较,当流场中某些局部区域的网格点分布很密，采用显式方法，小的时间步长会导致计算时间特别长。,例如，高雷诺数粘性流，物面附近的流场会产生急剧的变化，因此，物面附近需要更密的空间网格。,在这种情况下，若采用隐式方法，即使对于很密的空间网格，也能采用较大的时间步长，就会减少程序运行时间。,误差与稳定性分析,误差与稳定性分析,在从一个推进步进行到下一步时，如果某个特定的数值误差被放大了，那么计算就变成不稳定。如果误差不增长，甚至在从一个推进步进行到下一步时，误差还在衰减，那么计算通常就是稳定的。,误差与稳定性分析,A=偏微分方程的
37、精确解（解析解）,D=差分方程的精确解,离散误差=A-D,误差与稳定性分析,D=差分方程的精确解,舍入误差=N-D,N=在某个有限精度的计算机上实际计算出来的解（数值解）,N=D+,误差与稳定性分析,数值解N=精确解D+误差,数值解N满足差分方程，于是有,误差与稳定性分析,数值解N=精确解D+误差,精确解D也必然满足差分方程，于是有,误差与稳定性分析,数值解N=精确解D+误差,两式相减得，误差也满足差分方程：,误差与稳定性分析,当求解过程从第n步推进到第n+1步时，如果i衰减，至少是不增大，那么求解就是稳定的；反之，如果i增大，求解就是不稳定的。也就是说，求解要是稳定的，应该有：,误差与稳定性
38、分析,根据von Neumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法，设误差随空间和时间符合如下Fourier级数分布：,则,误差与稳定性分析,稳定性要求,故放大因子,误差与稳定性分析,下面采用von Neumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法分析如下差分方程的稳定性：,由于误差也满足差分方程，故有,误差与稳定性分析,由于误差也满足差分方程，故有,而,则,误差与稳定性分析,解得,放大因子,误差与稳定性分析,要使,放大因子,必须满足,误差与稳定性分析,上式就是差分方程,的稳定性条件。,对于给定的x，t的值必须足够小，才能满足上述稳定性条件，以保证计算过程中误差不会放大。,误差与稳定性分析,稳定性条件的具体形
39、式取决于差分方程的形式。,的差分方程,是无条件不稳定的。,比如，一阶波动方程：,误差与稳定性分析,但如果用,则,（Lax方法）,误差与稳定性分析,令误差,则放大因子,式中,误差与稳定性分析,则放大因子,稳定性要求,则,误差与稳定性分析,稳定性要求,式中的C称为柯朗(Courant)数。,误差与稳定性分析,稳定性要求,上式称为柯朗弗里德里奇列维(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，一般写成CFL条件。,误差与稳定性分析,下面来看CFL条件的物理意义。,CFL条件：,也是二阶波动方程：,的稳定性条件。,误差与稳定性分析,下面来看CFL条件的物理意义。,二阶波动方程：,的特征线为,
40、CFL条件的物理意义：要保证稳定性，数值解的依赖区域必须全部包含解析解的依赖区域。,误差与稳定性分析,CFL条件的物理意义：要保证稳定性，数值解的依赖区域必须全部包含解析解的依赖区域。,误差与稳定性分析,计算流体力学CFD(3),网格生成与坐标变换,引言,引言,在CFD里，确定适当的网格是一件非常重要的事情。,网格会影响数值计算的成功与失败。,引言,标准的有限差分方法需要均匀网格。,如果在流场内生成了非均匀网格，也需要将它变换成均匀分布的矩形网格。,引言,采用均匀网格计算翼型绕流有如下问题：,1）有些网格点落入翼型内部，而不是在流场里，如何给定这些点上的流动参量？,引言,采用均匀网格计算翼型绕
41、流有如下问题：,2）只有少量的网格点落在翼型表面上，这也不好。因为翼型表面是极其重要的边界，翼型表面上的边界条件确定了整个流动。,引言,1）翼型内部没有网格点,2）网格点落在翼型表面上,引言,网格既不是矩形的，也不是均匀分布的。通常的差分很难应用，必须转换。,引言,控制方程从物理平面(x,y)转换到计算平面(,),物理平面,计算平面,贴体网格,方程的一般变换,方程的一般变换,考虑二维非定常流场，,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),物理平面,计算平面,方程的一般变换,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),下标表示求偏导数过程中保持不变的量,方程的一般变换,从物理平面(x,y,t),计
42、算平面(,),下标表示求偏导数过程中保持不变的量,方程的一般变换,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),方程的一般变换,方程的一般变换,方程的一般变换,方程的一般变换,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),方程的一般变换,方程的一般变换,方程的一般变换,度量和雅可比行列式,度量和雅可比行列式,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),涉及网格几何性质的项，如/x,/y,/x,/y称为度量。,度量和雅可比行列式,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),如果上述变换式用解析形式给出，则度量也能得到解析值。,度量和雅可比行列式,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),大部分情况下，上述关
43、系式是用数值形式给出的，则度量用有限差分计算。,度量和雅可比行列式,从物理平面(x,y,t),计算平面(,),逆变换,下面推导用逆变换来表示导数,从计算平面(,),物理平面(x,y,t),度量和雅可比行列式,令,u的全微分为：,则：,度量和雅可比行列式,由,得：,度量和雅可比行列式,分母上的行列式称为雅可比行列式，记作,度量和雅可比行列式,由,得：,度量和雅可比行列式,度量和雅可比行列式,写成更一般的形式：,度量和雅可比行列式,用逆变换来表示导数（含J）：,度量和雅可比行列式,用直接变换来表示导数(不含J)：,下面根据逆度量和直接度量之间的关系式来推导怎么用逆变换来表示导数。,度量和雅可比行列
44、式,考虑二维的直接变换：,有：,度量和雅可比行列式,即：,度量和雅可比行列式,再考虑二维的逆变换：,有：,度量和雅可比行列式,即：,度量和雅可比行列式,由：,得：,度量和雅可比行列式,由：,和,得：,度量和雅可比行列式,即：,度量和雅可比行列式,因为行列式转置后，其值不变，则：,故：,度量和雅可比行列式,于是就得到了直接度量和逆度量之间的关系式：,直接度量,逆度量,度量和雅可比行列式,用直接变换来表示导数(不含J)：,代入,得到用逆变换表示的导数：,再论适合CFD使用的控制方程,再论适合CFD使用的控制方程,在物理平面，流动方程的强守恒形式,在计算平面，还能写成如下的形式吗？,再论适合CFD使
45、用的控制方程,在物理平面，流动方程的强守恒形式,答案是能。,在计算平面，可以写成以下形式：,拉伸（压缩）网格,拉伸（压缩）网格,流过平板的粘性流,直接变换（解析变换）,逆变换（解析变换）,拉伸（压缩）网格,直接变换（解析变换）,逆变换（解析变换）,拉伸（压缩）网格,物理平面上的连续性方程,计算平面上的连续性方程：,拉伸（压缩）网格,得：,直接变换（解析变换）,拉伸（压缩）网格,计算平面上的连续性方程：,拉伸（压缩）网格,物理平面上的连续性方程,计算平面上的连续性方程：,拉伸（压缩）网格,逆变换（解析变换）,下面根据逆变换关系式来推导计算平面上的连续性方程。,拉伸（压缩）网格,物理平面上的连续性
46、方程,用逆变换来表示导数（含J）：,拉伸（压缩）网格,逆变换（解析变换）,计算平面上的连续性方程：,贴体坐标系：椭圆型网格生成,贴体坐标系：椭圆型网格生成,a)物理平面,b)计算平面,扩张管道内流,物理平面中贴体曲线坐标系,计算平面内均匀矩形网格,贴体坐标系：椭圆型网格生成,a)物理平面,O型网格,qp和sr是同一条曲线,割缝,贴体坐标系：椭圆型网格生成,b)计算平面,贴体坐标系：椭圆型网格生成,b)计算平面,a)物理平面,四周边界条件给定，采用椭圆型方程来生成网格，称为椭圆型网格生成,最简单的椭圆型方程是Laplace方程：,贴体坐标系：椭圆型网格生成,Laplace方程：,贴体坐标系：椭圆
47、型网格生成,计算平面（标出了边界条件，并画了一个内点）,贴体坐标系：椭圆型网格生成,b)计算平面,a)物理平面,变换没有解析式，而是一组数值,控制方程中所要求的度量可以用有限差分计算，并且常常采用中心差分,贴体坐标系：椭圆型网格生成,b)计算平面,a)物理平面,这里生成网格采用的是椭圆型方程，和流动的性质无关,流动的控制方程无论是椭圆型、双曲型还是抛物型的，都可以采用这种椭圆型的方程来生成网格。,贴体坐标系：椭圆型网格生成,采用椭圆型方程生成的绕翼型C型网格,在亚声速流中，扰动会传播得非常远，因此网格的外边界放在了离翼型非常远的地方。,贴体坐标系：椭圆型网格生成,翼型附近网格分布的细节,自适应
48、网格,自适应网格,边界层内没有网格点,边界层内至少有一些网格点,应该将大量的、密集的网格点分布在流场变量存在大的梯度的那部分流动区域内，从而改进CFD计算的数值精度。,自适应网格,边界层内没有网格点,边界层内至少有一些网格点,因为密网格能够减小截断误差，而且要想捕捉流动的物理特性，梯度大的地方就需要更多的网格点。,自适应网格,边界层内没有网格点,边界层内至少有一些网格点,没有捕捉到边界层,更真实地表现了边界层,自适应网格,它利用求解的流场特征确定网格点在物理平面中的位置。,自适应网格是能够自动向流场中大梯度区域聚集的网格。,自适应网格,自适应网格是一种随时间变化的网格。网格的调整与流场变量同步
49、。,自适应网格,自适应网格的优点：,1）当网格数量固定时，可以提高计算精度。,2）给定精度时，可以用较少的网格点来达到这一精度。,自适应网格,a)物理平面,B和C是比例因子，b和c是梯度放大因子,g是流场原始变量，如p,或T,自适应网格,b)计算平面,B和C是比例因子，b和c是梯度放大因子,g是流场原始变量，如p,或T,自适应网格,a)物理平面,自适应网格,a)物理平面,自适应网格,a)物理平面,为物理平面固定点(x,y)处的时间变化率，其值不为零。,自适应网格,a)物理平面,为物理平面固定点(x,y)处的时间变化率，其值不为零。,自适应网格,自适应网格,自适应网格,b)计算平面,流动控制方程
50、在计算平面求解。相应导数项采用下列式子计算：,网格生成的进展,覆盖F-20飞机外形的椭圆型自适应网格,用椭圆型网格生成，结合自适应网格，生成的三维贴体网格,求解三维欧拉方程的计算结果,F-20上表面压力系数的等值线分布,网格生成的进展,求解三维欧拉方程的计算结果,F-20机翼展向不同位置处压力系数沿机翼截面上下表面的变化,网格生成的进展,求解三维欧拉方程的计算结果,CFD计算给出的F-20上的机翼涡,网格生成的进展,网格由多个网格块组成，每一个网格块都互相独立，网格块之间由交界面分开。,覆盖F-16飞机的分块网格,网格生成的进展,有限体积网格生成的进展,有限体积网格生成的进展,结构网格：,物理
