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1、第三章测量数据处理,测量误差的处理测量不确定度的表示与评定测量结果的处理和报告,1、减小系统误差的方法；2、实验标准差计算；3、异常值的判别和剔除；4、测量重复性和测量复现性的评定；5、计量器具计量特性的评定；6、统计技术的应用；7、测量不确定度评定的步骤和方法；8、数据的有效位数和修约规则。,主要内容,第一节测量误差的处理,测量误差回顾,1、误差：测量结果减去被测量的真值。1、由于真值不能确定，实际上用的是约定真值；2、当有必要与相对误差相区别时，误差有时称为测量的绝对误差。但不应与误差的绝对值相混淆，后者为误差的模。,真值：与给定的特定量的定义一致的量值。特点：只有通过完善的测量才能获得；
2、本质上是不能确定的，常用约定真值来代替。,测量误差回顾,绝对误差：x=x-x0 相对误差：x=x/x0引用误差：N=x/xN以测量范围为(0-100)V 的电压表为例，若某测量点的示值为10V，标准值为10.01V，则绝对误差：=10V-10.01V=-0.01V相对误差：=-0.01V/10.01V=-0.1%引用误差：N=-0.01V/100V=-0.01%当x的值可能趋近于零时,不适合用相对误差表示。,测量误差回顾,由误差的定义可知，误差表示的是一个量而不是一个区间或范围；只有知道测量结果以及真值（或约定真值）后才能得到误差；误差只能通过测量才能得到，仅仅通过分析和评定得到的不可能是误差
3、。,测量误差回顾,随机误差的定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。=X-在（对同一量的多次）重复测量中以不可预见的方式变化的测量误差（就整体而言却服从一定统计规律）。随机误差具有抵偿性,误差分类图解,总体均值,结论：误差=随机误差+系统误差,误差分类图解,有关测量和测量结果的术语,由系统误差和随机误差的定义，可得：误差=测量结果真值=测量结果总体均值+总体均值真值=随机误差+系统误差测量结果=误差+真值=真值+随机误差+系统误差误差是随机误差和系统误差的代数和误差合成都应采用代数相加的方法,测量误差回顾,2、修正值：以代数法相加于未修正测量结果，用于
4、补偿系统误差的值。修正值等于负的系统误差估计值，即与估计的系统误差大小相等、符号相反；由于系统误差估计值具有不确定度，因此修正只能一定程度上减小系统误差，不能消除系统误差；已修正的测量结果即使具有较大的不确定度，但可能已经很接近真值，不要把测量不确定度与已修正的测量结果相混淆；如果系统误差很小，而修正引入的不确定度分量很大，要考虑是否值得修正。,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,（一）系统误差的发现在规定的测量条件下多次测量同一个被测量，从所得的测量结果与计量标准复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差估计值。在测量条件改变时，例如随时间、温度、频率等条件改变时，测量结果按某一确定的规律
5、变化，可能是线性或非线性地减小或增长，就可能发现测量结果中存在可变的系统误差。,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,（一）系统误差的发现在规定的测量条件下多次测量同一个被测量，从所得的测量结果与计量标准复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差估计值。在测量条件改变时，例如随时间、温度、频率等条件改变时，测量结果按某一确定的规律变化，可能是线性或非线性地减小或增长，就可能发现测量结果中存在可变的系统误差。,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,（二）减小系统误差的方法1、采用修正的方法当已知系统误差时，可以采用对测量结果进行修正的方法以减小系统误差。2、在实验中尽可能减小产生系统误差的因素如
6、尽量调整到水平、垂直、平行等理想位置；用数字仪表代替模拟仪表减小读数误差；采用先后加衰减器的方法减小失配等。,如测量结果为Ux=10.01V，标准值为U0=10.00V，则系统误差的估计值为0.01V，即修正值为-0.01V。修正后的测量结果应为：Ux+修正值=10.00V,对测量结果修正后，应考虑修正引入的不确定度分量。,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,3、选择适当测量方法使系统误差相互抵消（1）减小恒定系统误差的方法异号法改变测量中的某些条件，如测量方向、电压极性，使两种测量条件下测量误差的符号相反，取平均值以消除系统误差。交换法将测量中的某些条件适当交换，如被测件的位置相互交换，设
7、法使两次测量中的误差源对测量结果的影响作用相反，从而抵消系统误差。替代法 保持测量条件不变，用某一已知量值的标准器代替被测件再测量，使指示仪器的指示不变（或指零），这时被测量值等于已知的标准值，达到减小系统误差的目的。,交换法:用等臂天平称重，第一次右边放置被测件X，左边放置标准砝码P，X=P l1/l2；第二次被测件和标准砝码互换位置，左边放置被测件X，左边放置标准砝码P+P，使天平再次平衡，X=(P+P)l2/l1。可以用位置交换前后两次测得值的几何平均值消除由于天平不等臂引入的系统误差。X=(P+P)P1/2,异号法:带有螺旋杆式读数装置的测量仪器存在空行程，即螺旋杆转动时刻度变化而量杆
8、不动。第一次顺时针旋转对准刻度d，则d=a+，其中a为不含系统误差的值，为空行程引入的恒定系统误差；第二次逆时针旋转对准刻度d1=a-。取平均值可消除该系统误差：a=(d+d1)/2。,测量误差回顾,误差分类（按性质）：系统误差和随机误差系统误差的定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。=-X0在（对同一量的多次）重复测量中保持恒定不变或按可预见的方式变化的测量误差。,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,3、选择适当测量方法使系统误差相互抵消（2）减小可变系统误差的方法合理地设计测量顺序可以减小测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。用对称
9、测量法减小线性系统误差,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,3、选择适当测量方法使系统误差相互抵消（2）减小可变系统误差的方法合理地设计测量顺序可以减小测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。用半周期偶数测量法减小周期性系统误差周期性系统误差通常表示为：=asin(2l/T)相隔半个周期的两个测量结果中的误差是大小相等方向相反的，所以凡是相隔半个周期的一对测量值的均值中不再含有此项误差。此方法广泛应用于测角仪上。,一、系统误差发现和减小系统误差的方法,（三）修正系统误差的方法1、在测量结果上加修正值已修正的测量结果=未修正测量结果+修正值2、对测量结果乘修正因子已修正的测量结果=未修正
10、测量结果*修正因子3、画修正曲线4、制定修正表,二、实验标准偏差的估值方法,实验标准偏差用有限次测量数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用“s”表示。实验标准偏差的估值方法贝赛尔公式法最大残差法极差法较差法（阿仑方差）,二、实验标准偏差的估值方法,(1)贝赛尔公式法（n10）若在重复条件下对被测量X作n次独立重复测量，得到的测量结果为xi，则单次测量结果xi的实验标准偏差：算术平均值的实验标准偏差：,=n-1为自由度；,为残差；,由贝赛尔公式法估算的实验标准偏差是被测量残差的统计平均值；,二、实验标准偏差的估值方法,(2)最大残差法从有限次独立重复测量的一系列测量值中找到最大残差，并根
11、据测量次数查残差系数cn值，按下式计算估计的标准偏差：,二、实验标准偏差的估值方法,(3)极差法（测量次数49时）若在重复条件下对被测量X作n次独立重复测量，n个测量结果中最大值和最小值之差为R，则单次测量结果xi的实验标准偏差为：A类标准不确定度,二、实验标准偏差的估值方法,例：对某量测量9次，测得数据为：1225、1258、1258、1253、1252、1252、1256、1189、1240。贝赛尔公式法极差法,自由度为=8,自由度为=6.8,极差系数C=2.97（前公式为dn）和自由度=6.8来自于JJF1059测量不确定度评定与表示4.4极差法标准偏差评定，表1极差系数C和自由度。,二
12、、实验标准偏差的估值方法,(4)较差法（阿仑方差）从有限次独立重复测量的一系列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，按下式计算估计的标准偏差：,二、实验标准偏差的估值方法,(5)各种估值方法的比较贝赛尔公式法是一种最基本的方法，但是n很小时其估计值的不确定度较大，因此它适合于测量次数较多的情况；极差法和最大残差法较简单，但当测量数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当用贝赛尔公式法；较差法更适合随机过程的方差分析，如测量频率稳定度的阿伦方差就属于该方法。,三、算术平均值及其实验标准偏差的计算,（一）算术平均值的计算在相同条件下对被测量X进行有限次独立重复测量，测的一系列值x1，x2，
13、xn，其算术平均值为：由大数定理可以证明，算术平均值是期望的最佳估计值。它是期望的无偏估值；算术平均值是有限次测量的均值，所以是由样本构成的统计量，它本身也是随机变量；由于算术平均值是期望的最佳估计值，通常用算术平均值作为测量结果。,三、算术平均值及其实验标准偏差的计算,（二）算术平均值实验标准偏差的计算（三）实验标准偏差的标准偏差的计算,四、异常值的判定和剔除,异常值（离群值）在对一个被测量重复观测所获得的若干观测结果中，出现了与其它值偏离较远且不符合统计规律的个别值。他们可能属于来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。也称为存在着“粗大误差”。振动、电源变化、电磁干扰等意外条件变化；
14、读数或记录错误等人为因素。,四、异常值的判定和剔除,物理判别法在测量过程中确实是因记错、读错数据，仪器的突然故障，或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，应随时发现随时剔出。这种从技术上和物理上找出产生异常值的原因，是发现和剔出异常值的首要方法。统计判别法有时在测量完成后也不能确知可疑值是否为粗大误差，就需要采用统计判别法。,四、异常值的判定和剔除,1、拉依达准则（3准则）对被测量X进行n次独立重复测量，得到一系列数据：x1,x2,xd，xn(1)计算平均值(2)计算实验标准偏差(3)找出可疑的测量值xd，求可疑值的残差：(4)若 vd 3 s(x)，则xd为异常值，予以剔除。适合测量次数大于
15、50的情况,四、异常值的判定和剔除,1、拉依达准则（3准则）由贝赛尔（Bessel）公式知：当n 10时，3准则剔除粗大误差注定失效！,四、异常值的判定和剔除,2、格拉布斯（Grubbs）准则对被测量X进行n次独立重复测量，得到一系列数据：x1,x2,xd，xn(1)计算平均值(2)计算实验标准偏差(3)找出可疑的测量值xd，求可疑值的残差：(4)若 vd G s(x)，则xd为异常值，予以剔除，g值可查表得到。对样本中只混入一个异常值的情况，用该准则检验功效最高。,1950年，Grubbs根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别粗差的准则。,四、异常值的判定和剔除,3、狄克逊（Dixon）准
16、则对被测量X进行n次独立重复测量，得到一系列数据，按大小排列为：x1,x2,xd，xn。,1950年，Dixon提出另一种判别粗差的准则，它是根据测量数据按大小排列后的顺序差来判别粗差,无需估计实验标准偏差和算术平均值。,时，则xn为异常值,时，则x1为异常值,为显著水平，n为测量次数，D为狄克逊检验的临界值。,四、异常值的判定和剔除,三种判别准则比较大样本情形（n50）用3准则最简单方便；30n50时，用Grubbs准则效果最好；3n30时，用Grubbs准则适于剔除一个异常值，用Dixon准则适于剔除一个以上异常值。实际工作中可选用多种判别方法如果结论一致，可以剔除；如果结论不一致，则应慎
17、重；当无法判断的情形时，一般以不是异常值处理为好。,四、异常值的判定和剔除,对某产品抗压强度的测量数据为：4.7，5.4，6.0，6.5，7.3，7.7，8.2，9.0，10.1，14.0。试用Grubbs判别法判断最大值14.0是否为异常值。解：查临界值表（表3-4）得：G0.95(10)=2.176，G0.99(10)=2.410s(xi)G0.95=2.704 2.716=7.344，s(xi)G0.99=2.704 2.410=6.517如果显著水平为1%，则14.0为异常值，应予以剔除；如果显著水平为5%，则14.0不是异常值。,四、异常值的判定和剔除,射击16发子弹，其测程测量数据
18、为：1125，1148，1250，1259，1273，1279，1285，1285，1293，1300，1305，1312，1315，1324，1325，1350（已按大小顺序排列，单位：m）。试用Dixon判别法判断最小值1125是否为异常值，指定=5%。解：由于n=16，统计量为查临界值表（表3-5）得：D0.95(16)=0.546，故判断最小值为异常值。,五、测量重复性和测量复现性,（一）测量重复性评定1、测量仪器的重复性（repeatability）在相同条件下，重复测量同一被测量，测量仪器提供相近示值的能力。这些条件称为重复条件；重复条件包括：相同的测量程序、观测者、相同的测量仪器
19、、相同地点、在短时间内重复测量。重复性可用测量结果/示值的分散性定量表示。,五、测量重复性和测量复现性,（一）测量重复性评定2、测量结果的重复性评定在相同测量条件下，对同一被测量连续进行多次测量所得结果之间的一致性。重复性可以用测量结果的分散性定量表示，用实验标准偏差表示；重复性条件包括：相同测量程序、相同观测者、相同条件下使用相同测量器具、相同地点和在短期内进行重复测量。,五、测量重复性和测量复现性,（二）测量复现性的评定在变化的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。在给出复现性时应说明改变条件的详细情况；变化的测量条件包括：测量原理、方法、观测者、器具、参照标准、测量地、使用条件和
20、测量时间;复现性可以用测量结果的分散性定量表示；,六、加权算术平均值及其 实验标准偏差的计算方法,权：用数值来表示对测量结果的信任程度如：对同一量进行多组测量，显然测量次数越多，测量结果愈可信任，在取平均值时就应占较大比重；如：在进行实验室比对时，每个实验室要给出其测量结果和测量不确定度。在数据处理时，测量不确定度小的测量结果一般要给于更大的信任。,Xw为加权算术平均值，Wi=u20/u2ci；U为第m组测量结果的合成标准不确定度；Wi 与 u2ci 成反比；Sw为加权算术平均值Xw的实验标准差,七、计量器具误差的表示与评定,（一）示值误差和最大允许误差1、示值误差（error of indi
21、cation）定义：测量仪器示值与对应输入量的真值之差测量仪器的示值就是由测量仪器提供的量值由于真值不能确定，实际上用的是约定真值示值误差=示值-校准值（VIM3：测量仪器示值与相应测量标准提供的量值之差）绝对示值误差相对示值误差,由显示器读出的值称为直接示值，有时测量仪器的示值是由直接示值乘以仪器常数得到。,对实物量具，其示值就是其标称值。,如：标准电压源输出电压为1.000V，被检数字电压表指示为1.005V。则数字电压表示值误差=1.005V-1.000V=0.005V；相对示值误差=0.005V/1.000V=0.05%。,如：标称值为100的标准电阻器，用高一级标准校准后其值为100
22、.003。则该标准电阻示值误差为：100-100.003=-0.003。,七、计量器具误差的表示与评定,1、示值误差示值误差可能是正值，也可能是负值；同一型号的不同仪器，其示值误差一般不同；即使是同一台仪器，其不同测量点的示值误差也可能各不相同；示值误差必须经过校准或检定才能得到。,示值误差的评定：比较法、分步法、组合法,比较法：用被检仪器读出值减去计量标准读出值的平均值。（三坐标）分步法：无参考标准，用计量标准读出相关计量特性在判定目标计量特性。（邵氏）组合法：被检器具与标准器具对应比较和被检器具相互比较，以最小二乘法计算各被检器具示值误差。（量块、砝码、电阻）,七、计量器具误差的表示与评定
23、,2、最大允许误差（maximum permissible error）定义：技术规范、规程中规定的测量器具的允许误差极限值；有时也称测量仪器的允许误差限；它是由规范或仪器生产厂规定的不得超过的误差限，一般有上限和下限，在大多数情况下，为对称限。,七、计量器具误差的表示与评定,2、最大允许误差,七、计量器具误差的表示与评定,最大允许误差的表示形式(1)以绝对误差形式表示:=a 最大允许误差限不随示值而变；注意应有数值和测量单位。例如：精密玻璃水银温度计，测量范围为：0 C 50C，最大允许误差为0.2 C。如果测量30 C,则允许范围为29.8 C 30.2C。,七、计量器具误差的表示与评定,
24、最大允许误差的表示形式(2)以相对误差形式表示：=/x100%x为测量仪器的示值或实物量具的标称值。最大允许误差限随示值而变；没有测量单位。例如：标称值为1M的电阻，注明允许误差限为1%，则该电阻的允许误差上限为10k，下限为-10k。,七、计量器具误差的表示与评定,最大允许误差的表示形式(3)以引用误差形式表示:=/xN 100%xN为引用值（特定值），通常是量程上限，或满刻度值。引用误差不随示值而变，但与量程有关例如:0.25级弹簧式精密压力表的最大允许误差为“0.25%满刻度值”，在仪器任意刻度值上允许误差限不变。,七、计量器具误差的表示与评定,最大允许误差的表示形式(4)以绝对误差和相
25、对误差组合的形式表示例如:标准钢卷尺为=(0.04mm+410-5L)脉冲宽度 在(0.110)s的最大允许误差为:=（10%+0.025 s)(5)以相对误差和引用误差组合的形式表示例如:数字电压表在测量电阻时的最大允许误差为(10 10-6 读数+0.5 10-6 量程)注意：用最大允许误差表示时，其数值前必须加“”号。,七、计量器具误差的表示与评定,（二）测量仪器特性的符合性评定测量仪器的符合性评定（合格评定）就是评定测量仪器的示值误差是否在最大允许误差范围之内，即测量仪器是否符合其技术指标要求；由于标准值具有不确定度，因此由计量标准检定仪器时会在合格评定中带来误判风险；误判风险的大小与
26、标准值的不确定度和被检仪器示值的最大允许误差之比有关。,七、计量器具误差的表示与评定,=x-xs,示值x,x+MPEV,x-MPEV,xs,七、计量器具误差的表示与评定,（二）测量仪器特性的符合性评定当测量不确定度可以忽略时（当标准值的测量不确定度U95与被评定测量仪器最大允许误差的模值之比达到1/3时）在合格评定中可以忽略不计测量不确定度的影响，此时：MPEV，仪器判为合格；MPEV，仪器判为不合格。,七、计量器具误差的表示与评定,JJF1094-2002测量仪器特性评定，符合性判据为：MPEV-U，仪器判为合格；MPEV+U，仪器判为不合格；MPEV-U MPEV+U，仪器处于待定区。,七
27、、计量器具误差的表示与评定,=0.8%,0,2%,-2%,高频电压标准检定MPEV为2%的高频电压表，测量结果得到被检表在1V时的示值误差为=0.008，U95=0.9%。,七、计量器具误差的表示与评定,紧限判据：被评定测量仪器示值误差的绝对值在其最大允许误差的模扣除标准值的扩展不确定度的范围内时判为合格，即 MPEV-U，仪器判为合格；MPEV-U，仪器判为不合格；,宽限判据：被评定测量仪器示值误差的绝对值在其最大允许误差的模加上标准值的扩展不确定度的范围内时判为合格，即 MPEV+U，仪器判为合格；MPEV+U，仪器判为不合格；,七、计量器具误差的表示与评定,由于标准值具有不确定度，因此会
28、有待定区存在。若在合格评定中不考虑待定区，就会存在误判风险；在许多情况下，标准值的不确定度主要取决于计量标准的不确定度。因此在开展计量检定时，至少要求计量标准引入的不确定度分量小于被检仪器允许误差极限的1/3。在合格评定中，标准值的不确定度要用扩展不确定度，因为它是区间半宽度，而最大允许误差限也是一个区间半宽度，两者可以比较。当比值到不到1/3是，必须考虑测量不确定度影响，不能忽略待定区的问题。作为第三方检验或校准时，应把情况如实告知用户。,误判概率的大小与比值有关，当U951/4MPEV时，误判概率小于5%左右；当U951/3MPEV时，误判概率小于7%,七、计量器具误差的表示与评定,例：对
29、最大允许误差为1 10-5，标称值为10的标准电阻器进行校准，其校准值为9.9999851，校准的扩展不确定度为20，置信水平为95%，求该标准电阻的示值误差，能否下合格结论?为什么?答：（1）标准电阻的最大允许误差的绝对值为1 10-5，校准的扩展不确定度U95=20/10=2 10-6,它与被校标准电阻的最大允许误差的绝对值之比1/5，满足量值传递的要求。（2）标准电阻示值误差=10-9.9999851=0.0000149相对示值误差=0.0000149/9.9999851=1.5 10-6,，由于相对示值误差的绝对值(1.5 10-6)小于最大允许误差的绝对值(1 10-5),所以符合技
30、术指标要求，检定结论为“合格”。,八、计量器具其他计量特性的评定,1、测量仪器的准确度等级以最大允许误差评定准确度等级依据有关规程和技术规范，当测量仪器的示值误差不超过某一档次的最大允许误差要求，且其它相关特性也符合规定的要求时，则可判定该测量仪器在该准确度级别合格；使用这种仪器时，可直接用示值，不需要加修正值。如：弹簧式精密压力表，用引用误差的最大允许误差表示的准确度等级分别为：0.05级,0.1级,0.16级,0.25级等等。,测量准确度：测量结果与被测量真值之间的一致程度。准确度是一个定性概念。,八、计量器具其他计量特性的评定,1、测量仪器的准确度等级以实际值的测量不确定度评定准确度等级
31、依据计量检定规程对测量仪器进行检定，得出测量仪器实际值，其扩展不确定度满足某一档次的要求，且其它相关特性也符合规定的要求时，则可判定该测量仪器在该准确度等别合格；(0.05级、二等活塞)这表明测量仪器实际值的扩展不确定度不超出某个给定的极限；用这种方法评定的仪器在使用时，必须加修正值，或使用校准曲线。,八、计量器具其他计量特性的评定,八、计量器具其他计量特性的评定,2、测量仪器的分辨力测量仪器的显示装置能有效辨别的最小示值差对数字仪器而言,分辨力是变化一个最小有效数字时的示值变化.如:某五位半数字电压表，其末位变化一个字表示示值变化1V，则分辨力为1V；频率计数器最低数字显示变化一个字的示值差
32、为1Hz，则分辨力为1Hz；模拟仪表显示装置任意两个相邻标记之间最小分度的一半为其分辨力某一尺子最小分度为1mm，则其分辨力为0.5mm。,八、计量器具其他计量特性的评定,3、测量仪器的灵敏度在规定的某激励值上通过一个小的激励x，得到相应变化为y,则S=y/x即为该激励下的灵敏度;测量仪器的响应变化与响应激励变化之比值。如：某记录仪的输入电压改变1V，走纸0.2cm，则其灵敏度为0.2cm/V；如：某热敏电阻的温度变化1C，其阻值变化0.1，则其灵敏度为0.1/C。,八、计量器具其他计量特性的评定,4、测量仪器的鉴别力在一定激励和输出响应下，通过缓慢单方向地逐步改变激励输入，观察其输出响应，使
33、测量仪器产生恰能觉察有响应变化时的激励变化。使测量仪器产生未察觉的响应变化的最大激励变化，这种激励变化应是较慢的和单向的。如：检定活塞压力真空计时，当标准压力计和被检活塞压力真空计在上限压力下平衡后，在被检活塞压力真空计上加放的刚能破坏活塞平衡的最小砝码的质量即为被检活塞压力真空计的鉴别力。,八、计量器具其他计量特性的评定,5、测量仪器的稳定性测量仪器保持其计量特性恒定的能力通过测量标准观测被评定测量仪器计量特性的变化，当变化达到某规定值时，其变化量与所经过的时间之比即为评定测量仪器的稳定性；通过测量标准定期观测被评定测量仪器计量特性随时间的变化，所记录的被评定测量仪器计量特性的变化量除以观测
34、时间即为评定测量仪器的稳定性；频率源的频率稳定度用阿伦方差表示。,通常是指仪器计量特性随时间不变化的能力；若稳定性不是对时间而言，则应该明确说明。,用测量标准观测某标准物质的量值：当其变化达到规定的 1.0%时所经历的时间间隔为90天，则该标准物质质量的稳定性为 1.0%/90d。,某信号发生器按规定时间预热后，在一小时内连续观测其输出幅度的变化，其所有观测值中的最大值与最小值之差除以观测时间即为该信号发生器输出幅度的稳定性。,八、计量器具其他计量特性的评定,6、测量仪器的漂移测量器具计量特性的慢变化。由不受控的影响量的系统影响所引起的，一般用单位时间内的变化或使用一定次数后的变化来表示。实质
35、上，漂移是一种随时间和使用次数而改变的系统误差。,八、计量器具其他计量特性的评定,7、测量仪器的响应特性在规定条件下，激励与对应响应之间的关系。频率响应，温度响应等，如热电偶的电动势是温度的函数；可以用表格、曲线、数学方程式等形式表示；当激励按时间的函数变化时，传递函数（响应的拉普拉斯变换除以激励的拉普拉斯变换）是响应特性的一种形式。,八、计量器具其他计量特性的评定,8、测量仪器的不确定度VIM第二版：测量不确定度属于测量结果；用测量仪器得到的测量结果具有不确定度。该不确定度虽然和仪器有关，同时还与测量程序有关；测量不确定度不是仪器的固有特性；描述测量仪器特性的术语：示值误差和最大允许误差；测
36、量仪器所提供的标准量值的不确定度；由测量仪器引入的不确定度分量;由校准得到的仪器示值误差的不确定度。,计量标准的不确定度：由计量标准引入的不确定度分量,第二节测量不确定度的表示与评定,第二节 测量不确定度的表示与评定,概率统计基本知识数学期望、方差、标准偏差常用概率分布函数相关系数、协方差不确定度的评定方法不确定度来源和数学模型标准不确定度分量的评定不确定度的合成,一、统计技术应用,（一）概率、概率密度函数传统统计理论中概率定义：在n次独立的连续试验中，事件A发生了m次，m称为事件的频数，m/n称为相对频数或频率。当n极大时频率 m/n稳定地趋于某一个常数，此常数称为事件A的概率，记为P(A)
37、=p。概率p是用以度量随机事件A在试验中出现可能性大小的数值。0P(A)1测量值X落在x0到 x0+x区间的概率可表示为 P(x0 x x0+x)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。,一、统计技术应用,（一）概率、概率密度函数概率是介于0和1之间隶属于随机事件的实数。ISO3534:1993定义的注中说明：概率与事件发生的相对频数有关，或与事件发生的可信程度有关。可信度高时概率接近于1。概率是某一随机事件在试验中出现可能性大小的度量。如：对某量测量100次，70次落在些x0到x0+x0范围内，则称测量值在该范围内的概率为70%或0.7。（A类）概率也可以认为是对某一随机事件可信程度的度量
38、。如：根据经验和已掌握的信息知道测量值落在区间（x0，x0+x0）内的可信程度为99%，我们也称为测量值在此区间的概率为99%。（）,一、统计技术应用,对某一个量重复测量时，可以得到一系列测量数据，它们分散在某个区间内，概率是测量值在该区间出现相对频率（即可能性大小）的度量。在此定义基础上奠定了测量不确定度A类评定的理论基础；由于测量的不完善和人们对被测量及其影响量的认识不足，会影响到测量的可信度。概率也可以是测量值落在某个区间内的可信度大小。在这一新定义中，对于那些我们不知道其大小的系统误差，可以认为是以一定的概率落在区间的某个位置，认为也属于随机变量，或者说某项未知的系统误差落在该区间内的
39、可信程度也可以用概率表征。这是测量不确定度B类评定的理论基础。,一、统计技术应用,概率密度函数概率分布函数的导数即为概率密度函数，用f(x)或p(x)表示若已知概率密度函数，则测量值落在(x0,x0+x)区间内的概率为,一、统计技术应用,概率密度函数若取值区间为(a,b)，则测量值落在该区间的概率为P 称为置信概率或置信水平，区间(a,b)称为置信区间。置信区间的两个界限a 和 b分别称为区间的上限和下线，统称为置信限。,P=0.9表明该区间包含了概率密度分布曲线下面积的90%，即测量值有90%的可能性落在该区间。,一、统计技术应用,概率密度函数为了与经典概率有所区别，在GUM中将P 称为“包
40、含概率”或“置信水平”（在JJF1059中也称为“置信概率”）；经典概率论中的置信区间(a,b)，在GUM中称为“统计包含区间”；经典概率论中的置信因子（用以乘标准偏差得到置信区间的半宽度），在GUM称为包含因子（U=kuc）。,一、统计技术应用,（二）数学期望、方差和标准偏差1、期望无穷多次测量的算术平均值的极限，在统计学中把期望称为总体均值或均值。常把X量期望用E(X)表示测量值X的期望是无穷多次测量的测量值xi与其相应概率pi的乘积之和，即以概率加权的算术平均值当已知概率密度函数时，期望可写为：决定概率密度分布曲线位置的量。,一、统计技术应用,数学期望的运算法则(1)常数c的期望等于常数
41、本身，E(c)=c设X为一随机变量，c为一常数，则E(cX)=cE(X)设X、Y为两个独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)设X1，X2.Xn为任意的随机变量，a1，a2，an是任意常数，则,一、统计技术应用,2、方差定义：无穷多次测量的测量值与其期望之差平方的算术平均值的极限。或者说：方差就是测量的随机误差（测量值-期望）平方的数学期望。测量值平方的期望减去期望的平方（D(X)的数学展开）如果已知概率密度函数，则,一、统计技术应用,方差的运算法则(1)(2)常数的方差为零 D(c)=0；(3)设X为一随机变量，c为一常数，则D(cX)=c2D(X)；(4)设X、Y为两个独立的随机变量
42、，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(5)设X、Y为任意两个随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2XY。,一、统计技术应用,3、标准偏差方差的正平方根，用来表征测量值的分散程度。小表明测量值比较集中，大表明测量值比较分散。表征测量设备的重复性和复现性，因为它是在无穷多次测量情况下定义的，所以又称总体偏差,f(x),x,大,中,小,一、统计技术应用,（三）有限次测量时算术平均值和实验标准偏差1、算术平均值在相同条件下对被测量X进行有限次独立重复测量，测的一系列值x1，x2，xn，其算术平均值为：由大数定理可以证明，算术平均值是期望的最佳估计值。它是期望的无偏估值；算术平均值是有限次测
43、量的均值，所以是由样本构成的统计量，它本身也是随机变量；由于算术平均值是期望的最佳估计值，通常用算术平均值作为测量结果。,一、统计技术应用,2、实验标准偏差用有限次测量数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用“s”表示。在给出实验标准偏差的估值时，自由度越大，表明估计值的可信程度越高。贝赛尔公式法、最大残差法、极差法、较差法（阿仑方差）,期望是反映一组数据总体趋势的指标（有限个数据且等概率出现就是平均数）；方差是衡量数据稳定性的统计量，是反映一组数据的离散程度的指标，其大小与离散性同向；标准差为方差的正平方根，目的在于与该组数据的单位一致。,一、统计技术应用,（四）正态分布（高斯分布）曲
44、线与x轴所围面积为1；为形状参数，为位置参数；如=1，=0，标准正态分布。特点：对称性单峰性渐进线有拐点,x,正态分布的概率密度函数,一、统计技术应用,正态分布时测量值落在k 区间内的概率,正态分布的概率密度函数,一、统计技术应用,标准正态分布概率密度函数,一、统计技术应用,（五）常用的非正态分布函数1、均匀分布数学期望：标准偏差：设区间半宽度为a，则,E(x)=(下限负无穷到上限正无穷)xf(x)dx=(下限a到上限b)x/(b-a)dx=(b2-a2)/(b-a)*1/2=(a+b)/2E(x2)=(下限负无穷到上限正无穷)x2f(x)dx=(下限a到上限b)x3/(b-a)dx=(b3-
45、a3)/(b-a)*1/3=(a2+ab+b2)/3D(x)=E(x2)-(E(x)2=(a2+ab+b2)/3-(a+b)/22=(a2+ab+b2)/3-(a2+2ab+b2)/4=(a2-2ab+b2)/12=(b-a)2/12,一、统计技术应用,1、均匀分布设区间半宽度为a，则P=100%,U100=aP=99%,U95=0.99a,k=1.71P=95%,U95=0.95a,k=1.65,一、统计技术应用,2、三角分布标准偏差（区间半宽度为a）：如果 P=95%,U95=0.7764a,k=1.9,一、统计技术应用,3、梯形分布当=0时，为三角分布；当=1时，为均匀分布。,一、统计技
46、术应用,4、反正弦分布标准偏差（区间半宽度为a）,一、统计技术应用,4、反正弦分布a=1,一、统计技术应用,5、t分布t 分布又称学生分布，是连续型随机变量t 的概率分布。在概率中它表征对样本中所取子样的分布，或称抽样分布。如果无穷多次测量的整体分布是正态分布，那么t分布就是描述其有限次测量的分布。,一、统计技术应用,5、t分布其中：为 函数，为分布的自由度，当 时，t 分布 正态分布。通常所说的1（k=1）和3（k=3）所对应的置信概率为68.27%和99.73%指的是正态分布，即自由度为无穷大，在有限次测量的情况下，应为t 分布.,一、统计技术应用,（六）协方差和相关系数相关与独立的概念相
47、关：两个随机变量X、Y，如果其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说X、Y这两个量是相关的。独立：如果两个随机变量的联合概率分布是他们两个概率分布的乘积，则这两个随机变量是统计独立的。注意：如果两个随机变量是独立的，则肯定不相关，但反之不一定成立。（不独立可能也不相关）,Y=X1+X2，X2=bX1，则X2随X1变化而变化，说明X1和X2是相关的。,如果Y=X1+X2，X2和X1 本来是不相关的量。但我们对X2和X1都作了温度修正，而修正值是根据同一个温度计测得的值确定的，则他们的修正值就相关了，经修正后的X1和X2也就相关了。,一、统计技术应用,（六）协方差和相关系数协方差：两个随机变量X
48、、Y的协方差为各自随机误差之积的期望。Cov(X,Y)=E(x-x)(y-y)协方差是两个随机变量相关性的一种度量，协方差为零表示不相关。在有限次测量时，协方差的估计值为,1、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标，通俗点就是投资组合中两个项目间收益率的相关程度，正数说明两个项目一个收益率上升，另一个也上升，收益率呈同方向变化。如果是负数，则一个上升另一个下降，表明收益率是反方向变化。协方差的绝对值越大，表示这两种资产收益率关系越密切；绝对值越小表明这两种资产收益率的关系越疏远。2、由于协方差比较难理解，所以将协方差除以两个投资方案投资收益率的标准差之积
49、，得出一个与协方差具有相同性质却没有量化的数。这个数就是相关系数。计算公式为相关系数=协方差/两个项目标准差之积。,一、统计技术应用,（六）协方差和相关系数相关系数：两个随机变量的协方差与他们的标准偏差乘积之比。相关系数估计值,一、统计技术应用,（六）协方差和相关系数当两个量均因与同一个量有关而相关时，其协方差可按照以下方法估算：设xi=F(r)，xj=G(r)，则xi与xj的协方差为：,一、统计技术应用,将某元件接入正弦交流电源电路，同时测量该元件两端的交变电位差V和交变电流的幅值I，共测量5次，测量结果列于下表。计算交变电位差和交变电流的平均值和之间的相关系数。,一、统计技术应用,V,mA
50、,V,mA,一、统计技术应用,协方差相关系数,测量不确定度概念,与测量结果相关联的参数，表征合理赋予被测量值的分散性。注：(1)此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。(2)测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其它信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。(3)测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如，与修正值和参考测量标准有关的）分量。,测量不确定度概念,与测量结果相联系的参数意指测量不确定度是一个与测量结果在一起的参数，在
