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1、第6章 方差分析,第6.1节 方差分析的基本思想,第6.2节 单因素方差分析,第6.3节 双因素方差分析,返回,在现实的生产和经营管理中，经常要分析各种因素对研究对象某些特征值的影响.,方差分析(analysis of variance)就是采用数理统计方法对数据进行分析，以鉴别各种因素对研究对象的某些特征值影响大小的一种有效方法.,研究对象的特征值，即所考察的试验(其涵义包括调查，收集等)结果（如产品质量、数量、销量、成本等）称为试验指标，简称指标，常用x表示.,在试验中对所关心的“指标”有影响的、要加以考察而改变状态的原因称为因素,用A，B，C等大写英文字母表示.,第6.1节 方差分析的基
2、本思想,因素在试验中所取的各种不同状态称为因素的水平.因素A的r个水平常用A1，A2，A r表示，其中r称为因素A的水平数.,若在试验中考虑了因素的全部水平，则该因素称为固定因素;若在试验中仅随机选择了因素的部分水平，则该因素称为随机因素.,若只考察一个因素对指标的影响，这种试验称为单因素试验，相应的方差分析就称为单因素方差分析;若一个试验中同时考察两个因素，则相应的试验称为双因素试验，这时所作的方差分析称为双因素方差分析，在多因素试验中要考察的因素多于两个，相应的方差分析称为多因素方差分析.,某公司为了研究三种内容的广告宣传对某种无季节性的大型机械销售量的影响进行了调查统计.经广告广泛宣传后
3、，按寄回的广告上的订购数计算，一年四个季度的销售量(单位:台)为:,广告类型第一季度第二季度第三季度第四季度 A1 163 176 170 185A2 184 198 179 190 A3 206 191 218 224,A1是强调运输方便性的广告，A2是强调节省燃料的经济性的广告，A3是强调噪音低的优良性的广告.试判断:新闻广告的类型对该种机械的销售量是否有显著影响?若影响显著，哪一种广告内容为好?,新闻广告是所要检验的因素，三种不同的内容是三个水平，这是一个单因素三水平的试验.,试验过程中各种偶然性(随机性)因素的干扰所致差异，称为试验误差.,如果差异单纯是由误差引起的，那么我们认为广告的
4、不同类型对销售量没有显著影响，则可简称因素(新闻广告)不显著，如果不同广告下销售量的不同，除了误差影响外，主要是由于广告类型(水平)不同所造成的，那么我们就认为因素的不同水平对销售量有显著影响，简称因素显著.,方差分析就是通过对试验结果的分析去判断因素本身及各因素间交互作用对指标是否影响显著的一种统计方法.,单因素方差分析(single factor analysis of variance)是要判断因素各水平对指标是否有显著影响，归结为判断不同总体是否有相同分布的问题.由于实际中常遇到的是具有正态分布的总体，同时，在进行方差分析时，除了所关心的因素外，其他条件总是尽可能使其保持一致，这样就可
5、以认为每个总体的方差是相同的，因而，判断几个总体是否具有相同分布的问题就简化为检验几个具有等方差的正态总体均值是否相等的问题.,第6.2节 单因素方差分析,考虑的因素记为A，假定它有r个水平，并对水平Ai作了ni次观察，第i水平的第j次观察为，这样可得观察资料,设 是来自总体 的简单随机样本,检验,其中,1.数学模型,记,则,等价于,记总观察次数，组平均值，总平均值，则有平方和分解式:,2.方差分析,Q称为总离差平方和，简称总平方和，它反映全部数据之间的差异；Q1称为误差平方和或组内平方和，反映了随机误差的影响；Q2称为组间平方和或因素A的平方和，反映了各总体的样本平均值之间的差异，在一定程度
6、上反映了 间的差异程度，因而通过Q2与Q1的相对大小可以反映H0是否成立.,若Q2显著地大于Q1，说明 间的差异显著地大于随机误差，那么H0可能不成立.,取,也就是说有 的把握认为因素对指标有显著影响，即 间的差异是显著的.,通常情况下要列出方差分析表(analysis of variance table):,采用EXCEL软件可得到分析结果.,某公司为了研究三种内容的广告宣传对某种无季节性的大型机械销售量的影响进行了调查统计.经广告广泛宣传后，按寄回的广告上的订购数计算，一年四个季度的销售量(单位:台)为:,广告类型第一季度第二季度第三季度第四季度 A1 163 176 170 185A2
7、184 198 179 190 A3 206 191 218 224,A1是强调运输方便性的广告，A2是强调节省燃料的经济性的广告，A3是强调噪音低的优良性的广告.试判断:新闻广告的类型对该种机械的销售量是否有显著影响?若影响显著，哪一种广告内容为好?,所以拒绝H0，即认为广告内容不同对销售量的影响是显著的.,分析结果如下:,第6.3节 双因素方差分析,双因素方差分析的数据结构为,1.无交互作用的双因素方差分析(double factor analysis of variance),因素,因素A的第i种效应和因素B的第j种效应分别记作，试验误差记作，那么,其 中,假定,(1)数学模型,判断因素
8、A是否显著，等价于检验假设,判断因素B是否显著等价于检验假设,将总离差平方和Q进行分解:,选取检验统计量:,（2）方差分析,列出如下方差分析表:,利用EXCEL软件来实现计算问题.,为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其是否有影响.原料来源地有三个:甲、乙、丙.原料用量有三种:现用量、增加5%、增加8%.每个水平组合各做一次试验，得到的数据如下:,试分析原料用量及来源地对产品合格率的影响是否显著.,解:设原料来源地为因素A，三个地区为因素A的三个水平，第i个水平对合格率的特殊效应为;原料用量为因素B，三种用料量为因素B的三个水平，第j个水平对合格率的特殊效应为，,原假设为,由EXCEL软件可得如下成果：,最优条件为A2B2，即采用乙地原料并在原有用料量上增加5%，这一方案为最佳.,抗牵拉强度是硬橡胶的一项重要的性能指标，现试验考察下列两个因素对该指标的影响.A（硫化时间）：A1（40秒），A2（60秒）.B（催化剂种类）：B1（甲种）,B2（乙种）,B3（丙种）.六种组合水平下,各重复做了两次试验,测得数据(单位：kg/cm2)如下,试问因素A,因素B对该指标的影响是否显著？,2.有交互作用的双因素方差分析,应用EXCEL软件可得如下结果：,从以上结果可见，乙种催化剂、硫化60秒可使硬橡胶的抗牵拉强度达到最大.,
