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1、概率论与数理统计,2.3 连续型随机变量,概率论与数理统计,主要内容,一、连续型随机变量的概念,二、常见的连续型分布,一、连续型随机变量的概念,定义2.2 如果对于随机变量 的分布函数F(x)，存在非负函数 p(x)，使得对于任意的实数 x，有,则称 为连续型随机变量，其中函数 p(x)称为 的概率密度函数,简称概率密度（probability density function）.,注：连续型随机变量 由其密度函数唯一确定,1.定义,分布函数与密度函数的几何意义,由定义知道，概率密度 p(x)具有以下性质：,2.密度函数的性质,（非负性）,（规范性）,反过来，定义在R上的函数p(x)，如果具有
2、上述两个性质，即可定义一个分布函数F(x),(3)F(x)在R上连续，且在 p(x)的连续点处，有,对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律,(4)设 为连续型r.v.,对任意的实数 x 有,这表明连续型随机变量取个别值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出 并不意味着 是不可能事件,（5）对任意，有,这一个结果从几何上来讲，落在区间 中的概率恰好等于在区间 上曲线y=p(x)的曲边梯形的面积同时可发现整个曲线y=p(x)与x轴所围成的图形面积为1,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,例1 设 是连续型随
3、机变量，其密度函数为,解 由密度函数的性质知,试求：1）常数c；2）分布函数F(x)；3）,从而,于是,(2),(3),例2 设 是连续型随机变量，其密度函数为,解 由密度函数的性质知,试求：1）常数c；2）分布函数F(x)；3）,从而,于是,(2),(3),于是,当 时，,当 时，,例3 设 是连续型随机变量，其分布函数为,试求 密度函数.,设 密度函数为p(x)，则,3、常见的连续型分布,（1）.均匀分布,则称 服从区间 a,b 上的均匀分布.记为 U a,b.,若随机变量 的密度函数为,的分布函数为,x,p(x),a,b,b,a,密度函数的验证,是密度函数.,即 落在(a,b)内任何长为
4、 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,进行大量数值计算时,若在小数点后第k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的 r.v.随机变量.,应用场合,均匀分布的概率背景,例 3,解,设A=方程 有实根，则,若 的d.f.为,则称 服从参数为 的指数分布,记作,的分布函数为,0 为常数.,（2）.指数分布,0,密度函数的验证,是密度函数.,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,指数分布的概率背景,若(),则,故
5、又把指数分布称为“永远年轻”的分布.,特点：指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,例4 假定打一次电话所用的时间（单位：分）服从参数 的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率,解,由题设知,，故所求概率为,(2),若 的密度函数 为,（3）.正态分布,则称 服从参数为,2 的正态分布,记作 N(,2),亦称高斯(Gauss)分布,（其中 为常数，）,p(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,正态概率密度函数的几何特征,（6)当固定,，改变,的大小,时，p(x)图形的形状不变，只是沿着x轴作平移变换；,位置参数,形状参数,正态
6、分布的分布函数,密度函数的验证,由数学分析知识可知,从而,是密度函数.,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的,正态分布
7、可以作为许多分布的近似分布,正态分布下的概率计算,原函数不是初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算,方法二:转化为标准正态分布查表计算,一种重要的正态分布-,标准正态分布N(0,1),分布函数记为,其值有专门的表供查.,例5 证明,证明,解,例6,对一般的正态分布：N(,2)，,其分布函数为,正态分布标准化,从而,故,设,则,例7 设 N(1,4),求 P(0 1.6),解,例8 已知,且 P(2 4)=0.3,求 P(0).,解一,解二 图解法,由图,例9 3 原理.,设 N(,2),求,解,一次试验中,落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,标准正态分布的上 分位数 z,设 N(0,1),0 1,称满足,的点 z 为X 的上 分位数.,z,常用数据,若 的密度函数为,4.分布,则称 服从参数为 的 分布,（其中 为常数，）,特别的，当 时，,随机变量 的密度函数为,称 服从自由度为n的 分布，记作,特别地，当 时，就为参数为 的指数分布,
