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1、第2章 递归与分治策略,学习要点:理解递归的概念。掌握设计有效算法的分治策略。通过下面的范例学习分治策略设计技巧。（1）二分搜索技术；（2）大整数乘法；（3）Strassen矩阵乘法；（4）棋盘覆盖；（5）合并排序和快速排序；（6）线性时间选择；（7）最接近点对问题；（8）循环赛日程表。,将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。,算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。,算法总体思想,对这k个子问题分别
2、求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。,n,T(n),=,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。,n,T(n),=,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。,分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。,2.1 递归的概念,直接或间接地调用自身的算法称为递归算
3、法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。,下面来看几个实例。,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：,边界条件,递归方程,边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。,2.1 递归的概念,例2 Fibonacci数列无穷数列1
4、，1，2，3，5，8，13，21，34，55，称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：,边界条件,递归方程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下：int fibonacci(int n)if(n=1)return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。Ackerman函数A(n，m)定义如下：,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：,本例中的Ackerman函数却无法找到非
5、递归的定义。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：M=0时，A(n,0)=n+2M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，由A(1,1)=2，故A(n,1)=2*nM=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)=2n。M=3时，类似的可以推出M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。,2.1 递归的概念,例4 排列问题（算法见P11）设计一个递归算法生成n个元素r
6、1,r2,rn的全排列。,设R=r1,r2,rn是要进行排列的n个元素，Ri=R-ri。集合X中元素的全排列记为perm(X)。(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：,当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素；当n1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)构成。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+nk，其中n1n2nk1，k1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。,例
7、如正整数6有如下11种不同的划分：6；5+1；4+2，4+1+1；3+3，3+2+1，3+1+1+1；2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；1+1+1+1+1+1。,(2)q(n,m)=q(n,n),mn;最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。,(1)q(n,1)=1,n1;当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即,(4)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1;正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1n-1 的划分组成。,(3)q(n,n)=1+q(n,n-1);正整数n的划分由n1=n的划分和n1n-1的划分组成
8、。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。,正整数n
9、的划分数p(n)=q(n,n)。,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。,在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试用递归技术来解决这个问题。,当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a
10、直接移至塔座b上即可。当n1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座c移至塔座b。由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题，这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题的递归算法如下。,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题（由a移到b）,void hanoi(int n,int a,int b,int c)if(n 0)hanoi(n-1,a,c,b);move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a)
11、;,递归小结,优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。,缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。,解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。2、用递推来实现递归函数。3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。,递归小结,递推,植树节那天，有五位同学参加了植树活动
12、，他们完成植树的棵树都不相同。问第一位同学植了多少棵时，他指着旁边的第二位同学说比他多植了两棵；追问第二位同学，他又说比第三位同学多植了两棵；.如此，都说比另一位同学多植两棵。最后问到第五位同学时，他说自己植了10棵。到底第一位同学植了多少棵树？,递推,分析：设第一位同学植树的棵树为a1,欲求a1，需从第五位同学植树的棵数a5入手，根据“多两棵”这个规律，按照一定顺序逐步进行推算：(1)a5=10;(2)a4=a5+2=12;(3)a3=a4+2=14;(4)a2=a3+2=16;(5)a1=a2+2=18;,尾递归,线性递归:long Rescuvie(long n)return(n=1)?
13、1:n*Rescuvie(n-1);尾递归:long TailRescuvie(long n,long a)return(n=1)?a:TailRescuvie(n-1,a*n);long TailRescuvie(long n)/封装用的 return(n=0)?1:TailRescuvie(n,1);,尾递归,当n=5时 对于线性递归,他的递归过程如下:Rescuvie(5)5*Rescuvie(4)5*4*Rescuvie(3)5*4*3*Rescuvie(2)5*4*3*2*Rescuvie(1)5*4*3*2*1 5*4*3*2 5*4*6 5*24 120,尾递归,对于尾递归,他的
14、递归过程如下:TailRescuvie(5)TailRescuvie(5,1)TailRescuvie(4,5)TailRescuvie(3,20)TailRescuvie(2,60)TailRescuvie(1,120)120,分治法的适用条件,分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这
15、个特征。,这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用,能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。,这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。,divide-and-conquer(P)if(|P|=n0)adhoc(P);/解决小规模的问题 else divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解问题 for(i=1,i=k
16、,i+)yi=divide-and-conquer(Pi);/递归的解各子问题 return merge(y1,.,yk);/将各子问题的解合并为原问题的解,分治法的基本步骤,人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。,分治法的复杂性分析,一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为nm的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题
17、以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：,通过迭代法求得方程的解：,分析：如果n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就可以确定x是否在表中。因此这个问题满足分治法的第一个适用条件,分析：比较x和a的中间元素amid，若x=amid，则x在L中的位置就是mid；如果xai，同理我们只要在amid的后面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。,分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在
18、ai的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。,二分搜索技术,给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元素中找出一特定元素x。分析：,该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；分解出的各个子问题是相互独立的。,二分搜索技术,给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元素中找出一特定元素x。,据此容易设计出二分搜索算法：template int BinarySearch(Type a,const Type,算法复杂度分析：每执行一次算法的while循环，待搜索数
19、组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn)次。循环体内运算需要O(1)时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn)。,大整数的乘法,请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算,小学的方法：O(n2)效率太低分治法:,X=Y=X=a 2n/2+b Y=c 2n/2+d XY=ac 2n+(ad+bc)2n/2+bd,a,b,c,d,复杂度分析T(n)=O(n2)没有改进,大整数的乘法,请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算,小学的方法：O(n2)效率太低分治法:,XY=ac 2n+(ad+bc)2n/2+bd 为了降低
20、时间复杂度，必须减少乘法的次数。XY=ac 2n+(a-b)(d-c)+ac+bd)2n/2+bd,复杂度分析T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)较大的改进,大整数的乘法,请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算,小学的方法：O(n2)效率太低分治法:O(n1.59)较大的改进更快的方法?,如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法。最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)的产生。该方法也可以看作是一个复杂的分治算法。,Strassen矩阵乘法,A和B的乘积矩阵C中的元素Ci,j定义为:,若依此
21、定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素Cij，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的所有元素所需的计算时间为O(n3),传统方法：O(n3),Strassen矩阵乘法,使用与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4个大小相等的子矩阵。由此可将方程C=AB重写为：,传统方法：O(n3)分治法:,由此可得：,复杂度分析T(n)=O(n3),Strassen矩阵乘法,传统方法：O(n3)分治法:,为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。,复杂度分析T(n)=O(nlog7)=O(n2.81)较大的改进,Strassen矩阵乘法,传统方法：O(n3)分治法:O(n2.
22、81)更快的方法?,Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再基于计算22矩阵的7次乘法这样的方法了。或许应当研究或矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是 O(n2.376)是否能找到O(n2)的算法？,合并排序,基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。,void MergeSort(Type a,int left,int right)if(lef
23、tright)/至少有2个元素 int i=(left+right)/2;/取中点 mergeSort(a,left,i);mergeSort(a,i+1,right);merge(a,b,left,i,right);/合并到数组b copy(a,b,left,right);/复制回数组a,复杂度分析T(n)=O(nlogn)渐进意义下的最优算法,合并排序（合并算法见P22）,算法mergeSort的递归过程可以消去。,合并排序,最坏时间复杂度：O(nlogn)平均时间复杂度：O(nlogn)辅助空间：O(n),快速排序,在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次
24、就能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，因而总的比较和移动次数较少。,templatevoid QuickSort(Type a,int p,int r)if(pr)int q=Partition(a,p,r);QuickSort(a,p,q-1);/对左半段排序 QuickSort(a,q+1,r);/对右半段排序,快速排序,templateint Partition(Type a,int p,int r)int i=p,j=r+1;Type x=ap;/将 x的元素交换到右边区域 while(true)while(a+i x);if(i=j)br
25、eak;Swap(ai,aj);ap=aj;aj=x;return j;,初始序列,j-;,5,7,5,2,6,8,i+;,5,6,5,2,7,8,j-;,5,2,5,6,7,8,i+;,完成,5,2,5 6 7,8,templateint RandomizedPartition(Type a,int p,int r)int i=Random(p,r);Swap(ai,ap);return Partition(a,p,r);,快速排序,快速排序算法的性能取决于划分的对称性。通过修改算法partition，可以设计出采用随机选择策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，当数组还没有被划分时，
26、可以在ap:r中随机选出一个元素作为划分基准，这样可以使划分基准的选择是随机的，从而可以期望划分是较对称的。,最坏时间复杂度：O(n2)平均时间复杂度：O(nlogn)辅助空间：O(n)或O(logn),最接近点对问题,给定平面上n个点的集合S，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。,最接近点对问题,如果S的最接近点对是p3,q3，即|p3-q3|d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3(m-d,m，q3(m,m+d。由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m中至多包含S中的一个点
27、。由图可以看出，如果(m-d,m中有S中的点，则此点就是S1中最大点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m和(m,m+d中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。,能否在线性时间内找到p3,q3？,最接近点对问题,下面来考虑二维的情形。,选取一垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2。递归地在S1和S2上找出其最小距离d1和d2，并设d=mind1,d2，S中的最接近点对或者是d，或者是某个p,q，其中pP1且qP2。能否在线性时间内找到p,q？,最接近点对问题,考虑P1中任意一点p，它若与P2中
28、的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p，q)d。满足这个条件的P2中的点一定落在一个d2d的矩形R中由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查6n/2=3n个候选者,能否在线性时间内找到p3,q3？,证明:将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个(d/2)(2d/3)的矩形。若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个(d/2)(2d/3)的小矩形中有2个以上S中的点。设u，v是位于同一小矩形中的2个点，则distance(u,v)d。这与d的
29、意义相矛盾。,为了确切地知道要检查哪6个点，可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。,最接近点对问题,最接近点对问题,double cpair2(S)n=|S|;if(n m2、d1=cpair2(S1);d2=cpair2(S2);3、dm=min(d
30、1,d2);,4、设P1是S1中距垂直分割线l的距离在dm之内的所有点组成的集合；P2是S2中距分割线l的距离在dm之内所有点组成的集合；将P1和P2中点依其y坐标值排序；并设X和Y是相应的已排好序的点列；5、通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm之内的所有点(最多6个)可以完成合并；当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的区间内移动；设dl是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离；6、d=min(dm,dl);return d;,复杂度分析T(n)=O(nlogn),循环赛日程表,设计一个满足以下要求的比赛日程表：(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；(2)每个选手一天只能赛一次；(3)循环赛一共进行n-1天。,按分治策略，将所有的选手分为两半，n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。,
