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1、量子控制系统的建模与仿真,量子理论的应用,宋晓亮,物理科学学院2007级应用物理学系光子学技术方向学号：0710243住址：南开大学22宿（高培楼）B204-2 抱歉老师没现成单人图片，故从其他多人图片中PS了一个下来,孙刚,物理科学学院2007级物理学系凝聚态方向学号：0710244住址：南开大学22宿（高培楼）B204-2,孙腾骞,物理科学学院2007级物理学系理论物理方向学号：0710246住址：南开大学22宿（高培楼）B204-2,内容介绍,量子控制的模型量子控制系统的建模量子系统的仿真量子控制系统的仿真研究,量子控制模型简介,模型是系统的一种表示，是求解问题的基础，它可以用来描述系统
2、的内在联系及系统与外界的关系。量子控制可借用部分经典控制系统模型的形式，又由于量子力学系统的观测和实验据不易进行，故需要通过模型求解来进行指导。,量子控制系统的结构模型,即将量子控制系统各部分的相互关系用传递函数模型（经典控制借鉴）、方程、文字等图示表示。优点：形象、直观、灵活缺点：不易直接获得系统统一的数学模型适用范围：未知信息量子控制系统的初期分析、量子控制实验研究、对量子反馈龙之中状态的观测与估计、量子闭环控制学习算法等,量子控制系统的微分方程模型,用希尔伯特（Hilbert）空间态矢描述系统的量子态，它随时间的演化遵循薛定谔方程：i(/t)|(t)=|(t)理论上，我们可将该方程看作量
3、子控制系统的微分模型优点：物理意义明确，系统状态演化完全包含在微分方程中。缺点：系统方程不易建立也不易求解适用范围：研究比较透彻的系统和具有比较明确经典对应的量子系统,量子控制系统的传递函数模型,通过何时的简化和假设，将量子控制系统看作一些环节的组合，根据各环节的输入输出关系，确定各环节传递模型，近似结构模型。优点：可借用经典分析中的方法理论，并加以发展，在系统化间、反馈控制分析、控制器设计等方面很方便。缺点：量子纠缠态使传递函数应用受很大限制适用范围：量子反馈控制和系统控制器的实际与分析。,量子控制系统的状态空间模型,系统状态空间模型：（t）=AZ（t）+BZ（t）u Y（t）=Z（t）Y（
4、0）Z表状态矢量（矩阵）Y表输出矢量u表控制矢量，即得到一个双线性系统模型优点：数学描述明确缺点：计算复杂且在起步阶段，问题也较多使用范围：较简单的物理系统，将来成熟之后或可扩大范围,量子控制系统的建模简介,科学家们在经过长时间的研究后发现：量子控制系统的模型主要是用来描述系统的量子态演化特性，在量子理论中量子态用希尔伯特空间的态矢描述，它遵循薛定谔方程。而理论上，薛定谔方程完全决定了系统状态的演化，这样量子控制的建模就转化为求取系统的薛定谔方程，其中的重点就在于求取方程中的哈密顿方程。下面介绍目前常用的两种方法。,直接机理建模法,即直接根据量子控制系统的作用机理，根据量子力学规律，找出系统相
5、应的哈密顿算符，从而确定控制系统的薛定谔方程。优点：直观，物理意义明确缺点：目前对于量子系统的认识还不够充分，要直接根据系统作用机理获得哈密顿算符比较困难。,量子化建模法一,直接量子化建模我们通过已有对应关系从经典控制系统的模型求取相应的量子算符，然后建立对应量子控制系统的数学模型。优点：许多量子控制模型可以直接从对应的经典控制系统中推导得出缺点：需有已知经典控制系统对应适用范围：有明确对应经典系统的量子系统建模,量子化建模法二,间接量子化建模即量子控制的模型在拉格朗日和哈密顿框架内间接的从经典控制系统求得。经典控制系统拉格朗日系统哈密顿控制系统量子化量子控制数学模型优点：可直接借助与经典控制
6、模型的许多结果缺点：对未知量子系统较无力适用范围：具有较明确经典对应的量子系统建模,量子化建模法三,类比量子化建模通过与易于量子化的控制系统类比，先经过量子化建立类比系统量子控制模型，再根据类比关系获得所需的量子控制系统模型。给定经典控制系统易于量子化的类比系统量子化类比系统的量子控制系统建立类比系统与给定系统的关系获得给定系统的量子控制数学模型优点：应用范围广缺点：相比前两种方法计算较复杂适用范围：大部分已知或未知经典对应的量子系统建模,量子系统的仿真,概述 量子仿真的分类基于经典计算机的量子仿真量子仿真算法量子蒙特卡罗方法前景,一 概述,系统仿真是根据被研究的真实系统的模型，利用计算机技术
7、进行实验研究的一种方法，它是建立在系统科学、控制理论、计算机技术上的一门综合性很强的实验科学技术，是分析、综合各类复杂系统，特别是大系统的一种研究方法和有力工具。,二 量子仿真的分类,1 根据仿真所使用的平台不同可以将量子仿真分为一下几类a 基于经典计算机的仿真：以经典的数字计算机为仿真平台，在其上进行量子电路的设计和量子算法的研究。目前的研究大多是基于高性能计算机HPC（high performance computers)和集群计算机平台。b 基于元胞自动机的仿真：元胞自动机（cellular automata 或 cellular automaton，CA）是空间和时间都离散，物理参数取
8、有限值集系统的理想化模型。比较适合用于对量子场进行模拟。C 基于特殊量子系统的仿真：这类仿真主要是用一些特殊的量子系统如量子点，量子光学设备，核磁共振，离子阱等对某些简单,的量子系统和量子算法进行模拟和仿真。由于这类系统自身的特殊性使得能够被它们仿真的系统的范围非常小，但可以用来对某些用经典计算机无法模拟的量子效应进行仿真研究。d 基于量子计算机的仿真：是以量子计算机为仿真平台进行的仿真研究。量子计算机的功能之一就是可以在其上实现量子系统随着时间的演化过程，这就为量子物理学提供了新的研究工具。2 根据仿真对象的不同可以将量子系统仿真分为对量子设备的仿真和对量子算法的仿真两类A 量子设备是指基于
9、电子的量子效应进行运作的设备，常见的量子设备有量子点（quantum dot）量子阱激光二极管（quantum well laser diode）热电子三极管(hot electron transistor)等B 对量子算法的仿真研究是基于量子模拟器的。现在所拥有的量子计算机只是实验用的两位量子计算原型机，对大多数量子计算研究者而言，不可能获得真正的通用量子计算机。而量子模拟器,则可以为研究者提供一种基于经典计算机的模拟量子计算平台，作为进一步研究量子计算的重要工具和手段。量子模拟器对量子计算理论和量子算法可行性、正确性的研究具有重要意义。将来，当量子计算机达到实用化的阶段时，我们就可以将已有
10、的科研成果直接应用到实际的量子计算机上。,三 基于经典计算机的量子分析,用经典的计算机对量子系统进行仿真是可能的，但通常来说效率是很低的。对于很对简单的量子系统，其本身的动态方程行为服从薛定谔方程。对于典型的微观粒子，薛定谔方程是一个椭圆形方程，因而仅仅对薛定谔方程进行求解并不是量子系统仿真的主要困难，困难在于仿真过程中需要求解的微分方程数目是指数级增长的。虽然有时我们可以通过有效的算法减少方程个数来实现经典仿真，然而有很多实际的物理系统，其方程数目是没有办法进行有效缩减的。对于量子系统，量子仿真技术中主要存在以下两个困难，一个是系统的状态表示，另一个是仿真的速度问题。下面我们就分析系统状态的
11、复杂度和仿真速度与仿真系统的寄存器位数的指数关系。1 系统表示的空间复杂度设模拟系统有n 个量子位，使用复数表示其状态。每个复数用两个浮点数表示，在计算机上一个浮点类型的数据占用四个字节。,则量子系统有N=2的n次方个状态，需要存储空间是C=2*4*N Byte 量子计算过程中需要使用m个量子门，表示这m个量子门的幺正矩阵需要的存储空间是：C=4*m*N*N Byte 从而这个模拟系统所需的存储空间就为：C=4*m*N*N+8*N Byte 设单机的磁盘容量为160GB又设m=8，它能够表示16位的量子寄存器的所有的状态。如果不考虑量子门的表示，那么它能够表示34位的量子寄存器的所有状态。2
12、系统表示的时间复杂程度量子仿真过程实际上是一系列矢量矩阵相乘的过程。在计算机中要完成的乘法和加法操作至少有 C=m*2*2n*22n FLOPS假设单机的运行速度为2G FLOPS。那么运行时间T（单位为小时）和量子位数n的关系为：T=m*2*2n*22n/(2*109*60*60)(小时),假设m=8，对16个量子位规模的系统进行模拟大约需要625小时。对12 个量子位规模的系统进行模拟大约需要9.16分钟。值得注意的是，这些时间估算中没有考虑磁盘的访问时间。从上面的公式可以看出：要模拟一个32位的计算机系统，耗费的资源是非常庞大的。如和利用现有的计算机技术构造更好的量子仿真环境，并使之有效
13、地与目前的计算机系统相结合将是量子仿真技术的重要研究内容。,四 量子仿真算法,经典的仿真通常是从微分方程出发，将微分展开为一阶形式：y(t+t)=y(t)+f(y)t+O(t)与之类似，量子仿真关心的是方程 的解。对于时不变的哈密顿量H，其解为：|(t)=-iHt(0)由于e通常难以求解，转而考虑一阶近似：|(t+t)=I-iHt|(t)这样就比较容易处理了。,对于实际系统的哈密顿量，我们可以获得更高阶次的近似。大多数物理系统的系统哈密顿量可分解为一系列局部相互作用的叠加。H=Hk采用Glauber公式：eA+B=eAeBe-A,B/2可以获得量子仿真的高阶近似：e i(A+B)t=eiAte
14、iBt+O(t2)和e i(A+B)t=eiAt/2eiBt/2+O(t3),量子仿真算法,输入：（1）N维系统的哈密顿量H=H。其中每个H最多作用于c个子系统上；(c是常数)（2）系统在t=0时刻的处态|(0)；（3）给定的精度0;（4）到达系统的期望状态的时间tf。,时间复杂度：O（1/+1）复杂度的操作。过程：选择一个表示，使得n=位的量子比特的系统状态|能够近似所需仿真的系统，并使算符e有有效的近似量子门电路。选择一个近似方程和t，使得期望的误差可接受，并使最大迭代次数C=tf，同时为迭代运算构造一个相应的量子门电路U。,最后进入如下循环：,1.初始化：j=0，设=A,|(0)=|A(
15、0);2.更新|(j+1)=Ut|A(j);3.j=j+1，如果jttf，则转到4，否则在转到2.4.输出：(tf)=|A(j);,五 量子蒙特卡罗方法,在过去的十年里，人们在对量子系统进行仿真的过程中，提出了各种各样的仿真方法。其中应用最为广泛的当数量子蒙特卡罗QMC（quantum Monte Carlo)方法。蒙特卡罗法亦称为随机模拟法，它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值，而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。,由于
16、量子系统本身固有的随机性，使得蒙特卡罗法很适合用于对量子系统进行模拟和仿真，从而发展出了适用于计算机量子多体系统性质的量子蒙特卡罗方法。量子蒙特卡罗方法适用于个种系统和模型。它有两种基本类型，一种是零温度法和投影蒙特卡罗法，这种方法只计算单个波函数的属性；另一个方法叫有有限温度法，常用于需要遍历温度密度矩阵的场合。,六 前景,到目前为止，对绝大多数量子计算研究者而言，还不可能获得真正的量子计算机。在经典计算机上对量子系统进行模拟可以为研究者提供一种模拟的量子计算机平台，作为进一步研究的手段。量子计算模型对量子计算理论和量子算法可行性，正确性的研究具有重要意义。与此同时，人们也在努力尝试在现有的
17、量子计算设备上进行量子系统仿真的研究。可以预见，在不久的将来，我们在量子计算级设备上进行的仿真研究将会越来越多，随着量子计算技术的不断完善，基于量子计算机的量子仿真将会给系统仿真技术的发展开辟一条新的发展道路。,总之，无论是基于经典计算机的量子仿真还是基于量子计算设备的量子仿真，都将随着量子信息和量子计算等领域的发展而不段发展和完善，也将为量子系统控制的研究提供一种更新也更有效的工具。,量子仿真系统的仿真研究,虽然人们在量子控制的理论研究和实验研究中已经取得了很多优秀的成果，但仅仅是在理论上进行研究是远远不够的。理论研究往往停留在脆弱的理想模型上，面对被控系统的复杂性，只凭借经验和直觉，缺乏建
18、设性的理论指导。利用计算机可以实现有效地仿真。它可以使理论研究者在没有被控模型的情况下，对设计的控制策略和算法进行一些检验，为进一步实验研究提供一定基础，减小不必要的实验过程，降低实验成本。,一 量子仿真系统仿真平台,现有条件下，可以用来进行量子控制系统仿真研究的平台有两种：1 基于经典计算机的仿真。2 基于某些量子系统的仿真。,二 量子仿真系统仿真的一般步骤,仿真不骤大抵可以分为三个阶段：1 模型的建立模型的建立主要是根据研究目标、系统建模原理和数据建立系统的模型。2 模型转换阶段模型转换阶段主要根据模型的形式、仿真平台的类型及仿真目的将模型转换成适合仿真平台处理的形式。,3 模型的实验阶段
19、。模型的实验阶段主要是设计好仿真实验方案，将模型装载到仿真平台上运行，按照一定的规则输入数据和控制信号，观察模型中的变量变化情况，对输出结果进行整理，分析并形成报告，在需要时对模型和宣发进行校正。,三 进一步考虑的问题,1 状态空间的离散化。对量子系统特有现象的仿真。对开放量子系统的模拟。,四 研究展望,虽然，目前人们对量子控制系统的研究还在理论和实践方面，但由于它能够进一步缩短理论研究和实际间的距离，为降低实验成本提供了可能。我们有理由相信，在量子计算机上的量子仿真研究必将成为各个领域科学工作者的得力助手。,参考文献,量子力学(第四版)曾谨言 2007年1月 科学出版社量子控制导论 陈宗海、董道毅、张陈斌2005年12月 中国科学技术大学新量子世界【英】安东尼.黑 帕特里克.沃尔特斯 著 雷奕安 译,感谢老师！,
