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1、金属塑性变形理论,第五讲Lesson Five,张贵杰Zhang GuijieTel：E-Mail：河北理工大学金属材料与加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University,Tangshan 063009,2023/10/19,2,第十章 应力状态分析,主要内容Main Content应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量 主应力及主切应力 球应力及偏差应力,2023/10/19,3,10.4 主应力及主切应力,10.4.1 主应力的概念通过坐标变换可
2、以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。,2023/10/19,4,2023/10/19,5,2023/10/19,6,主应力的求解,如果取微分面ABC为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。用 表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为,2023/10/19,7,代入到斜面应力方程中有,整理后可得,又有,（*）,（*）,2023/10/19,8,由上面四个方程可求出主应力s及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l=m=n=0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式
3、为零，即,2023/10/19,9,展开此行列式，得,令,则有,2023/10/19,10,三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知,由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有,展开后得,2023/10/19,11,应力张量不变量,对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。,2023/10/19,12,主应力的特点,三个主应力所作用的主微分面
4、是相互垂直的将主应力s1代入（*）式中的任何两个方程，并与（*）式联立，可以求解出主应力s1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应力s2及s3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3。每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系,2023/10/19,13,三个主应力均为实根 主应力具有极值性质三个主应力中的最大值赋给s1，最小值赋给s3，并按大小顺序排列s1s2s3，则过该点任意微分斜面上的正应力中，s1为最大值，s3为最小值。,2023/10/19,14,主坐标系,因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐标轴称为主轴。,2023/10/19,15
5、,在主坐标系下斜面上的应力为,或,正应力,为主应力张量,2023/10/19,16,10.4.2 主切应力和最大切应力,主切应力任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力上式中消去n，得到tn与l、m的函数关系,2023/10/19,17,当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。,2023/10/19,18,对此方程组求解分不同情况,当s1s2s3时，1），此解指主微分面上切应力为零2）时，3）时，4）时，此种情况不可
6、能成立。5）若方程中消去m，则有,2023/10/19,19,l0,m0,n0,2023/10/19,20,当s1s2s3时，则切应力在通过该点的任何微分面上为零。主切应力 最大切应力,2023/10/19,21,主平面和主切平面上所作用的应力,2023/10/19,22,练习,已知变形体内某点的应力状态,N/mm2,试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。,2023/10/19,23,解：,s（1）=60MPa为一主应力。,y面,y向,缩减应力张量的维数,2023/10/19,24,写出该张量的特征方程,展开并求解,2023/10/19,25,按大小顺序排列后，得到求s1的方向余弦。将s1代入到（*）式中,与 联立求解，因m=0，所以有,解得：,或,2023/10/19,26,同理可求得s2、s3的方向余弦s2s3,或,或,2023/10/19,27,课后作业Homework,习题集P6习题19、23、26习题集P6习题36写在作业纸上，下周一交。,
