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1、2023/10/20,近世代数,第二章 群论 5 变换群,2023/10/20,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。,本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。,2023/10/20,一、集合的变换和变换乘法,1 变换：设,是一个非空集合，若,是,就称,是,的一个变换.,2 变换集合：由,的全体变换做成的集合,，由,的全体一一变换做成,.,记为,的集
2、合记为,2023/10/20,4 变换乘法是,的代数运算，也是,的代数运算.,5 恒等变换,：,，,3 变换乘法：,，规定,，称,为,的乘法.,2023/10/20,二、变换群的概念,的全部变换如下,问：（1）,关于变换乘法是否做成群？,关于变换乘法是否做成群？,（2）,2023/10/20,解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，,事实上，,就没有逆元.因为如果,有逆元,.那么必有,且,.但是,而,导致矛盾，故,没有逆元.,不能成为群.,有单位元,.那么“逆元”问题能解决吗？,因此,2023/10/20,（2）非空、代数运算、结合律都满足，,，,的逆元是,的逆元是自身.因此,例2 设,，并取
3、定,，则易知,是,的一个非一一变换，,，从而,关于变换乘法做成群.,有单位元,成为群.,.,2023/10/20,定义1,设,的若干一一变换关于变换的乘法做成,的一个一一变换群；,的若干非一一变换关于变换的乘法做,的一个非一一变换群.,是一个非空集合，则,的若干变换关于变换的乘法做成的群，,的一个变换群；,由,称为,由,的群，称为,由,成的群，称为,2023/10/20,定理,设,为非空集合，,构成,的一个变换群.,关于变换的乘法,证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元,为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的,互逆的一一映射.,2023/10/20,定义2,称集合,上的一一变换群,为,上的对称群；,时，其上的对称群用,表示，称为n 次对称群.,当,显然：,n次对称群,是一个阶为,的有限群.,2023/10/20,例,例3.令,，,，则,做成,的一个,，规定,，则,做成,的一个,上的对称群.,非一一变换群.,例4.令,一一变换群，但不是,（单位元,）,（单位元,）,2023/10/20,定理(凯莱定理),任何群都能同一个一一变换群同构.,证：设,是任意一个群,，规定,的一个变换,易知是一个,一个一一变换.令,，则,，,，,，所以,是同构映射.,所以,.,2023/10/20,以上定理及推论表明:任何抽象群都可以找到某个具体的群与它同构.,
