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1、信息工程大学 电子技术学院,置换群,一、对称变换群的定义,定义 使图形不变形地变到与自身重合的,变换称为这个图形的对称变换(symmetric transfor-,一个图形的一切对称变换关于变换的乘法,构成群,这个群称为这个图形的对称变换群.,一个图形的对称变换群常可以用一个置换群来,表示,它能很好地反映图形的对称性质,是研究图,形的对称性质的有力工具.,mation).,二、对称变换群的实例,例1 求正方形的对称变换群.,由图不难看出,正方形的对称变换只有两种:,(1)分别绕中心点 按逆时针方向,旋转、的旋转;,(2)关于直线、,的镜面反射.,为了用置换来表示正方形的对称变换,我们用数,字1
2、、2、3、4来代表正方形的四个顶点(如图1.7.1).,显然,正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶,点的一个置换.如果对称变换将顶点 变为顶点,那么我们用置换,变换,都可惟一地确定一个4阶置换,且不同的对称,变换对应了不同的置换.所以,正方形的每一个对,称变换,都可用惟一的一个四阶置换来表示.,表列出了正方形的对称变换及其相应的置,来表示这个对称变换.易知,由正方形的每一个对称,表,由表可知,两个对称变换的乘积对应于相应,的置换的乘积.所以正方形的对称变换群是 的一,个子群,记作.由表1.7.1可知.,一般地,正 边形 的对称变换群是 的一,个子群,记作,称为二面体群.易知,正 边形有,个旋
3、转(包括恒等变换)和 个反射,所以,二面体,群的阶数是.,例2 求正四面体的对称变换群.,一个正四面体可以内接于一个正方体(见图1.7.2),把正四面体的四个顶点标上1、2、3、4四个数字,则,正四面体的每一个对称变换都可用一个4阶置换来表示.,的对称变换.如镜面反射 就不是正四面体的对称,因此,正四面体的对称变换群是 的一个子群.共,有24个4阶置换,但并非每一个置换都表示正四面体,变换.,容易看出,绕任一条过正四面体的一个顶点及其对,面中心的轴按逆时针方向旋转,的旋转是正,四面体的对称变换,这样的变换有 个.另一方面,绕任一条过正方体的对面中心的轴旋转 的旋转,也是正四面体的对称变换,这样
4、的变换有3个.,再加上恒等变换,共12个对称变换.所以,正四面,体至少有12个对称变换,且这些变换都是旋转.又,因为镜面反射 不是正四面体的对称变换,所以,镜面反射 与上述12个旋转的乘积也都不是正四,面体的对称变换.由此可知,上述12个旋转恰是正,四面体的全部对称变换。,这12个对称变换用轮换的形,因此,正四面体的对称变换群就是4次交代群.,设 是数域 上的一个 元多项式.,如果集合 的一个置换保持多项式,不变,则称这个置换为多项式,的一个对称变换.易知,多项式,的全体对称变换关于变换的合成构成,的一个子群,这个群称为多项式 的,对称变换群.,例3 设 是数域 上的一个 元多,项式.则多项式 的对称变换群等于,的充分必要条件是 是 元对称多项式.,例4 试求多项式 的对称变换群.,解 我们用置换,表示将 变到 的变换.易知,多项式,的任一置换最多只能将 与 或 与,互换.所以,多项式 的对称变换群,是由 与 生成的群,即.从,而,的对称变换群为,参考文献及阅读材料,1张奠宙等编,科学家大辞典,上海:上海辞书,出版社;上海科技教育出版社.2000,
