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1、对称变换和对称矩阵,定义1：设 是欧氏空间V的一个线性变换。如果，有，则称 是一个对称变换。,欲证 是对称变换，即证：（1）是线性变换；（2），有。,定义2：设A是数域F上的 阶矩阵，如果,则称A是一个对称矩阵。,定理8.4.1：设 是 维欧氏空间V的一个对称变换。是 V的任意一个规范正交基。关于这个基的矩阵,则A是一个对称矩阵。,定理：维欧氏空间V的对称变换关于任意一个规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵。,定理8.4.2：设 是 维欧氏空间V的一个线性变换。如果 关于V的任意一个规范正交基的矩阵是对称矩阵，则 是一个对称变换。,定理8.4.1+8.4.2：维欧氏空间V的一个线性变换 是对称变换
2、的充要条件是 关于V的任意一个规范正交基的矩阵是实对称矩阵。,定理8.4.3：实对称矩阵的特征根都是实数。,定理8.4.4：维欧氏空间V的一个对称变换 的属于不同的本征值的本征向量彼此正交。,定理8.4.5：设 是 维欧氏空间V的一个对称变换，则存在V的一个规范正交基，使得 关于该基的矩阵是对角矩阵。,定理8.4.6：设A是 阶实对称矩阵，那么存在一个 阶正交矩阵，使得 是对角矩阵。,求正交矩阵 的步骤：,（1）求出所给实对称矩阵A的特征值；,（2）对于每一个，求出齐次线性方程组 的一个基础解系；,（3）将这个基实行正交单位化，作为矩阵 的列向量，则 即为所求。,例1、设，求一个正交矩阵阵，使
3、得 具有对角形式,例2、已知 为正交矩阵。证明：也是正交矩阵。,练习：设，求一个正交矩阵，使得 是对角矩阵。,第八章小结,一、欧氏空间 1、内积的定义，会根据所给的内积判断是否作成欧氏空间。2、欧氏空间 的内积法则。3、欧氏空间内积的性质（5条）。4、长度、夹角、正交、距离的定义。5、定理8.1.18.1.2及证明。,二、正交基 1、正交组、规范正交组、正交基、规范正交基的联系与区别。2、会求一个基的规范正交基和会证明规范正交基。3、正交矩阵、同构的定义。4、定理8.2.18.2.7及部分证明。,三、正交变换 1、正交变换的定义及4条基本性质。2、会用定义和基本性质证明正交变换。,四、对称变换和对称矩阵 1、对称变换和对称矩阵的定义。2、定理8.4.18.4.6及部分证明。3、会求一个 阶实对称矩阵 的正交矩阵，使得 是对角矩阵。,
