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1、第4章图形变换的矩阵方法,要求：,1.掌握各种图形变换的变换矩阵。,2.掌握图形变换矩阵的一般形式。,3.掌握齐次坐标表示法。,计算机产生图形的过程大致可分为三步：,计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。,图形变换-就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),同时保持图形的原拓扑关系不变.,一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用的
2、。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上述功能的算法。,图形变换,几何变换,投影变换,又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位置、形状,几何变换,基本变换,组合变换,：上述变换的连续实施,投影变换,正投影变换,斜投影变换,中心变换,：斜轴测图,线框图的变换通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。,用参数方程描述的图形的变换通过参数方程作几何变换实现。,我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。,：透视图,由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形，要显示三维图形就要
3、用投影方式来降低其维数。,1.二维平面上点的表示法,改变顶点坐标,也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。,2.图形变换的矩阵表示,一对坐标(x,y),一个向量x y,设:点P(x,y),点P(x,y),其数学表达方法,矩阵表达方法,4.1二维图形变换,就是将图形放大或缩小的变换方法。,变换式为：,讨论：,1.Sx Sy1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换,2.Sx Sy1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。,3.Sx Sy1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。,图形变化：原有图形放大或缩小的变换,参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。,4.Sx Sy，图形产
4、生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。,4.1.1比例变换,4.1.2对称变换,2.关于y轴的对称变换,3.关于45度平分线的对称变换,4.关于-45度平分线的对称变换,5.关于坐标原点的对称变换,1.关于x轴的对称变换,沿x轴方向的错切变换,沿y轴方向的错切变换,1.沿X轴方向的错切变换,4.1.3错切变换,(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;,(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;,(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段,(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。,(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标
5、值发生线性变化;,(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;,(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段,(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。,2.沿Y轴方向的错切变换,其矩阵表示法：,4.1.4绕坐标原点的旋转变换,变换过程为：,变换矩阵为,如变换矩阵改为：,则点的坐标（x,y),（x,y,1),P=P*T=,=,4.1.5平移变换,它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法,如：二维点x y 用 X Y H表示,如：空间点x y z 用 X Y Z H表示,正常化齐次坐标,怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?,H可以任意选取,齐次坐标与普通坐标之间
6、是一一对应关系。,如二维平面上的一点3,4,用齐次坐标表示为3,4,1,6,8,2,1.5,2,0.5,通常将H=1的齐次坐标称为,齐次坐标表示点，可以防止溢出,能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述,4.1.6齐次坐标与变换通式,4.1.7二维图形变换矩阵的一般形式,二维图形变换矩阵的通式T:,(1)复合平移,(2)复合比例,组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.,4.1.8二维组合变换,(3)复合旋转,先平移,再旋转,先旋转,再平移,级联的顺序不同,最终的图形不同,由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响,3.将图形从原点平移到p(m,n),1
7、.将图形从点p(m,n)平移到原点O,2.绕原点旋转,（1）,（2）,（3）,(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换,T1*T2*T3,T,=,=,绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵,设直线方程 Ax+By+C=0,则：x轴上的截距为-C/Ay轴上的截距为-C/B斜率为-A/B,2.让直线绕原点顺时针旋转角，使之与X 轴重合,1.将直线沿X轴平移C/A，使之过原点,对任意直线的对称变换可分解为以下五步:,(6)对任意直线的对称变换,3.图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换,4.让直线绕原点逆时针旋转角，恢复到原来的倾斜位置,5.将直线平移回原来的位置,组合变换矩阵
8、,三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵,比例、反射、旋转、错切,平移,投影变换,总体比例变换,空间点x y z 的四维齐次坐标 X Y Z H表示,三维空间点的变换为,x y z 1 T=x y z 1,变换前点的坐标,变换后点的坐标,三维图形的变换矩阵,l m n 1 x 3,p q rT,s1x1,4.2三维图形变换,三维图的基本变换,4.2.2轴向比例变换,变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是是图形产生比例变换。,0S1，为图形整体放大,S1，为图形整体缩小,S0，为对称变换比例变换,S1，为恒等变换,x y z 1 T=x y z s=x/s y/s z/s 1,x y z
9、 1 T=ax ey jz 1=x y z 1,若a=e=j,，则图形三方向的缩放比例相同,若aej,，则图形将产生类似变形,4.2.1全比例变换,1.对OXY平面的反射,特点：x y 值不变，z坐标符号改变,x y z 1 T=x y z 1,2.对YOZ平面的反射,特点：z y 值不变，x坐标符号改变,x y z 1 T=-x y z 1,3.对XOZ平面的反射,特点：x z值不变，y坐标符号改变,x y z 1 T=x-y z 1,4.2.3对称变换,指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大小都不发生变换的变换。,x y z 1 T=xl y+m z+n 1,4.2.4平移变换
10、,例：一单位立方体，现将它沿x方向移动3单位，y方向移动2单位，z方向移动3.5单位,S*T=,=,三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转角，且角的正负按右手定则决定。,1.绕X轴旋转 角,X坐标不变,Y、Z坐标发生变化,2.绕Y轴旋转 角,Y坐标不变,X、Z坐标发生变化,3.绕Z轴旋转 角,Z坐标不变,X、Y坐标发生变化,4.2.5旋转变换,设ON为过原点的任一直线，它对三根坐标轴的方向余弦分别为：,如立体绕ON轴旋转角，,变换可分为以下几步：,1.假设在Z轴上取单位矢量K，使K绕Y轴旋转1角，再绕Z轴旋转2角，使其与ON轴重合。,=0 0 1 1,n1 n2 n3 1,=sin1 cos2 si
11、n1sin2 cos1 1,2.将立体随轴ON一起，作上面所述相反的旋转,(1)先绕Z轴旋转2角；,(2)再绕Y轴旋转1角，,使ON轴与OZ轴重合；,n1cos=sin1cos 2,n2cos=sin1sin 2,n3cos=cos1,(3)变换后的元素绕OZ轴旋转角；,(4)绕Y轴旋转1角；,(5)绕Z轴旋转2；,4.2.6绕过坐标原点的任意倾斜直线旋转,其变换矩阵为：,T,绕Z轴旋转角2,绕Y轴旋转角1,绕Z轴旋转角,绕Y轴旋转角1,绕Z轴旋转角2,4.2.7正投影变换,1.正面投影变换矩阵TV,2.水平投影变换矩阵TH,X、Z坐标值不变,Y0,1)X、Y坐标值不变、,Z0,2)再将得到的
12、投影绕X轴旋转90，,3)然后沿Z轴方向平移一段的距离。,3.侧面投影变换矩阵TW,将空间几何元素向YOZ平面(即W面)作垂直投影，x=0,再将得到的投影绕Z轴旋转90，,然后沿X轴方向平移一段的距离,它的产生过程是：,1)将空间几何元素先绕Z轴旋转角;,2)再绕X轴旋转角-(0);,3)最后向V面作正投影.,4.2.8轴测投影变换,这种轴测图的特点是：三个轴向变形系数是相等的,=45，=3516,轴向变形系数为cos3516=0.8165,在轴测投影变换中，最常用的是正轴测投影,2.写出对任意直线的对称变换的过程及变换矩阵,作业,1.读懂程序例4-1，并将其改编为一个绕任意点旋转的二维图形变换程序。,
