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1、,10.1分类计数原理与分步,计数原理,高三备课组,一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理 分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的办法。,分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法。,特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间
2、相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；,如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。,二、题型剖析,例1:把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？,8,（2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是,36,1680,【思维点拔】解决这类题首先要明确：“完成一件事”指什么？如何完成这件事（即分步还是分类
3、）？进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理。分步计数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可。分类计数原理中的“分类”要全面,不能遗漏。“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。,例3(优化设计P172例1)、电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?,【评述】在综合运用两个原理时，一般先分类再分步。,例4(优化设计
4、P173例2)、从集合1，2，3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个？,【评述】本题的关键是先找出和为11的5组数，然后利用分步计数原理求出结果。,例5(优化设计P173例3)、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 _ 种.(以数字作答),120,【评述】本题需抓住花圃布局的要求，看清图形中6个部分的关系；明确每个部分只种同一种颜色的花，相邻部分应种不同颜色的花；而且4种颜色的花都要种上，缺一不可对这些条件要求，稍有疏忽、遗漏或曲解
5、，都会引致解答出错其次，应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分类中，计数不出错；最后，乘法原理和加法原理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出正确的答数,例6:已知集合A=,B=,f是从A 到,B的映射.(1)从A到B总共有几个映射?(2)若B中,每个元素都有原象,则可建立几个不同的映射?,(3)若B中的元素0没有原象,则这样的映射有几个?,(5)若f 满足，则这样的f又有几个?,(4)若B中有一个元素没有原象，则这样的映射有几个?,例7:四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不同的点，问共有多少种不同的取法？,三、课堂小结：,1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组,合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分,类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数,原理。,2.元素能重复的问题往往用计数原理。,3注意：类”间相互独立，“步”间相互联系。四、【布置作业】优化设计P173,优山美诗 优山美诗 ebsdfaxe,谢谢观看！,
