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1、第一节 向量及其线性运算,第二节 数量积 向量积*混合积,第三节 曲面及其方程,第四节 空间曲线及其方程,第五节 平面及其方程,第六节 空间直线及其方程,第八章,空间解析几何与向量代数,向量代数,空间解析几何,数量表示,空间:点,线,面,坐标,方程组,方程,向量法,线,面间关系：垂直,平行,相切,数量表示,(基本方法),本章重点：,第一节 向量及其线性运算,一、向量概念,二、向量的线性运算,四、利用坐标作向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1、向量的概念,既有大小又有方
2、向的量。如速度、力等。,模长为1的向量.表示为,模长为0 的向量.表示为,向量的大小.表示为,或,或,或,向量：,向量表示：,向量的模：,单位向量：,零向量:,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,或,1向量的概念,2两非零向量的关系,不考虑起点位置的向量.,大小相等且方向相同的向量.,大小相等但方向相反的向量.,自由向量：,相等向量：,(9)负向量：,(8)向径：,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1、向量的概念,1向量的概念
3、,2两非零向量的关系,关于向量的表示：,相等：,大小相等且方向相同的向量.,平行(共线)：,方向相同或相反的两个非零向量.,垂直：,方向成90夹角的两个非零向量.,注意：,由于零向量的方向可以看成任意的，故零向量与任何向量都平行或垂直。,共面：,把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.,2、两非零向量的关系,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,有哪几种?,1向量的概念,2两非零向量的关系,1、向量的加减法,向量加法法则：,（平行四边形法则）,特殊地：若,，分为,（有时也称三角形法则）,同向,
4、反向,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,（大小）,（方向同模大的向量）,1加减,3向量单位化,2数乘,4向量平行充要条件,向量加法运算律：,减法法则,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,注：,1加减,3向量单位化,2数乘,4向量平行充要条件,2、向量与数的乘法(1)(2)(3),定义：,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1加减,3向量单位化,2数乘,4向量平行充要条件,数与向量的乘积符合下列运算规律：,线性
5、运算：,向量的加减及数乘统称向量的线性运算。,例如,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1加减,3向量单位化,2数乘,4向量平行充要条件,例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,3、向量的单位化,注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法.,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,单位化,1加减,3向量单位化,2数乘,4向量平行充要条件,4、向量平行充要条
6、件,（只记结论，不证明）,注：此定理是建立数轴的理论依据.,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,一维数轴：,二维数轴：,注意:(x,y)可表示点P，也可表示向量,1加减,3向量单位化,2数乘,4向量平行充要条件,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系Oxyz坐标系或O;i,j,k坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,1、坐标系的构成,坐标轴：横轴、纵轴、竖轴,坐标面：xOy面、yOz面、zOx面,卦限：、,(图见下页),二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1坐标系的构成
7、,2点、向量与坐标,面,面,面,八个卦限,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1坐标系的构成,2点、向量与坐标,2、点、向量与坐标的对应关系,空间的点M,有序数组,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,注意:(x,y,z)可表示点M，也可表示向量,(向径),1坐标系的构成,2点、向量与坐标,加法,1、向量的加减法与数乘,减法,数乘,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1加减与数乘,2平行向量的坐标表示式,2、平行
8、向量的坐标表示式,例2,例3,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,向量平行充要条件,向量平行坐标表示式,2平行向量的坐标表示式,1加减与数乘,解,例2 求解以向量为未知元的线性方程组,解二元一次方程组，易得,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,例3 已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数-1，在直线AB上求点M，使,解,由题意知：,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1、向量的模与两点间
9、的距离公式:,两点间的距离公式:,向量的模:,例4,例5,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,例6,1模.距离公式,2方向角,3投影,解,原结论成立.,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,解,设P点坐标为,所求点为,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(略改),例6 已知两点A(5,3,1)和B(1,0,5)，求与,解：,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线
10、性运算,(略改),课本：方向相同,2、方向角与方向余弦,空间两向量的夹角的概念:,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1模.距离公式,2方向角,3投影,方向角,显然有,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(非零向量与坐标轴的夹角),1模.距离公式,2方向角,3投影,知,方向余弦的正负可以表示向量的方向是否指向正半轴.,方向余弦的特征,例7,例8,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方
11、向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,方向余弦,求方向余弦：,联系向量单位化：,注：,1模.距离公式,2方向角,3投影,例7 已知A(3,3,1)和B(1,5,1),计算,解,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(数改),解1,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(略改),解2,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(略改),3、向量在轴上的投影,(1)向量在u轴上投影,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(向量在u轴上的坐标),已知向量 在x轴上的坐标为x,1模,2方向角,3投影,(2)向量在三坐标轴上的投影,(3)向量投影的性质,例9,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,1模.距离公式,2方向角,3投影,解：,二向量的线性运算,三空间 直角坐标系,五向量的模.方向角.投影,一向量概念,四利用坐标作线性运算,(略改),在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,思考题,A:;,解答,B:;,C:;,D:;,
