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1、二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故函数在,取最小值 0;,因此也可通过,例3.求函
2、数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上的最大值和最小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,物从B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应如何选取?,Km,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD=15 km 时运费最省.,总运费,从而为最小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(k 为某一常数),例5.要做一个上、下 均有底的
3、圆柱型容器，容积是常量V0，问底半径r为多大时，容器表面积最小？,解:设容器的高为h，则容器的表面积,又因为,令,得,得目标函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故 表面积最小，为.,例6.一个顶角为900 的圆锥形内盛有V0L水，现往里灌水，从时刻t0到时刻t时灌入的水量为at2(a0)L，问何时水深h上升的速度最快？,解:设经过时间t，水深为h，水面半径为r，则水的体积为,又因为,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得目标函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得唯一驻点,由题意，目标函数的最大值存在，且驻点唯一，故,时，水深h上升的速度最快。,例7.某工厂生产电视机，固定成
4、本a元，每生产一台电视机，成本增加b元，已知总收益R是年产量x的函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问每年生产多少台时，总利润最大，为多少？,解:根据题意总成本C是年产量x的函数，得,总利润=总收益总成本,所以L（x）有唯一驻点x3b,所以当年产量x3b时，总利润最大，为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广(Th.3),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找;
5、,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.连续函数的最值,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极
6、大值为,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作,解:克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,为多少时才可使力,设摩擦系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚(视角 最大)?,观察者的眼睛1.8 m,例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为 x m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
