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1、1,第五节 全微分方程,全微分方程及其解法 积分因子,2,一、全微分方程及其求法,3,例如对于方程,所以方程是全微分方程.,全微分方程的判别,4,5,6,7,8,9,10,解,方程是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2,凑全微分法,11,12,二、积分因子法,问题:如何求方程的积分因子?,13,14,15,16,可降阶高阶微分方程,第六节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第十二章,17,一、,解法：连续积分n 次,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,18,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时
2、间的增大,此力 F 均匀地减,直到 t=T 时 F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,得,19,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,20,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,21,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,22,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点 A 到,(:密度,s:弧长),弧段重力
3、大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,23,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,24,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,25,例5.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,26,M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体
4、,受地球引力的作用由,27,两端积分得,因此有,28,由于 y=R 时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,29,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,30,例7.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,31,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,32,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,哪个方便用哪个.,均可.,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,33,P285 1(1),(3),(8);2(1)*;P292 1(5),(6),(10);2(1),(6);3,作业,
