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1、一、第二型曲线积分的定义,二、第二型曲线积分的性质,三、第二型曲线积分的的计算,1.第二型曲线积分,四、第一、二型曲线积分的关系,一、第二型曲线积分的定义,1.定向曲线 带有确定走向的曲线,定向曲线的参数表达式,定向曲线的向量表达式,代表 的反向曲线，与 是两条不同的定向曲线.,规定:当曲线L为简单封闭曲线时,可取曲线上任一点为始点,沿规定方向走一周回到该点.故该点也是终点.如无特殊说明,本书约定逆时针方向为正向.,由参数方程给出的定向曲线 在其上任一点处的切向量为:,2.切向量,若取由始点起到L上动点（x,y,z）的弧长为参数则曲线方程为：,一、第二型曲线积分的定义,其中当ab时 取负号.我
2、们规定与 走向相同的的切向量为有向曲线的切向量,一、第二型曲线积分的定义,由弧微分公式得到：,则相应的向量式表示为：,因此 是沿弧长增加方向的单位切向量,则,3.定义问题：设一个质点在引力场,沿着有向曲线L由A移动到B.问变力 对这个质点做了多少功?,在此我们依旧引进分点系.计算变力在每一小弧长上对质点所做的功,最后加起来再求其极限.,一、第二型曲线积分的定义,先考虑变力 F 沿平面曲线 L 所作的功。,根据常力所作的功,对曲线进行分割,力,一、第二型曲线积分的定义,求和,取极限,近似值,精确值,一、第二型曲线积分的定义,一、第二型曲线积分的定义,若和式极限,存在,并且与L的分割方式以及诸点的
3、取法无关,则称上式为 沿定向曲线L的第二型曲线积分,记作,1.定义 设，曲线L为xoy平面上的定向光滑曲线,对L引进分点系,当 在光滑(或分段光滑)的定向曲线L上连续时,第二型曲线积分必然存在。,一、第二型曲线积分的定义,2.可加性 若，且，沿L可积，则,二、第二型曲线积分的性质,1.线性 设和都为常数,沿L可积,则,4.长大不等式 设，曲线L的长度是,则,二、第二型曲线积分的性质,三、第二型曲线积分的计算,设积分曲线L的参数方程为,因此第二型曲线积分可按下式化为定积分计算,则,说明：,2)第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选
4、定，下限不一定小于上限.,3)计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性.一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算.,特殊情形,（2）L:y起点为c，终点为d.,例1,解 A(a,0,0)对应与参数t=0,B(a,0,c)对应与参数,计算曲线积分,例2,其中L是椭圆,1,1,且从z轴正向看去L取顺时针方向,根据公式化为定积分计算,三、第二型曲线积分的计算,例3,解,三、第二型曲线积分的计算,例4,解,注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,若曲线取由始点A的弧长为参数，曲线长为，设曲线方程为,对一、二型曲线积分有,因为曲线L在点P(x,y,z)的单位切向量可表示为,四、第一、二型曲线积分的关系,例5.,四、第一、二型曲线积分的关系,四、第一、二型曲线积分的关系,四、第一、二型曲线积分的关系,例6,所以,四、第一、二型曲线积分的关系,于是,
