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1、,第八章 曲线积分与曲面积分,第八章 曲线积分与曲面积分,本章将积分的概念推广到积分区域为一段曲线或一块曲面的情形，从而得到曲线积分与曲面积分。与重积分类似，它们是定积分的某些特定和式的极限在另一范畴的深化和推广。,第八章 曲线积分与曲面积分,曲线积分与曲面积分各分为两类。它们都有鲜明的物理意义，要掌握好曲线积分与曲面积分的概念，其关键在于掌握好它们的物理意义。学习本章须弄懂基本概念，掌握性质，熟练运算。熟知两类曲线积分与两类曲面积分之间的联系。特别要掌握第二类曲线积分及第二类曲面积分与重积分之间的关系，即格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。,理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类
2、曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。掌握两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式、斯托克斯（Stockes）公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的概念及其计算方法。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。,本章的具体要求,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,近似值,取极限,精确值,1.第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）,问题的提出,1.第一型曲线积分-概念和性质,第一型曲线积分的几何意义-柱面的侧面积,以 xy 平面上曲线 L 为准线，母线平行于 z 轴的
3、柱面被曲面:z=z(x,y)所截，位于 与 xy 坐标面之间的部分的面积为,在L上取ds,则,故有,对弧长曲线积分的几何意义,第一型曲线积分的物理意义-曲线L的质量,=L R2,f(X)=f(x,y),(x,y)L,d=ds,对弧长的曲线积分,因为ds0.所以对弧长的曲线积分与曲线的方向无关：,命题:如果曲线段L在,上是光滑的，则,说明：利用微元法，取典型小区间t,t+dt,设M=(t),(t),M=(t+dt),(t+dt),弧长微元ds为,特例：若曲线段L由直角坐标方程,y=f(x),给出，可视x为参数,得参数方程,从而,弧长增加方向和x增加方向一致时,有,又若曲线段L由直角坐标方程,给出
4、,则当弧长增加方向与y增加方向一致时,有,还若曲线段L由极坐标方程,给出,则当弧长增加的方向与增加方向一致时,有,弧长计算表,曲线段方程,弧长 s 计算公式,参数方程,直角坐标系,直角坐标系,极坐标系,2.第一型曲线积分的计算,曲线由参数方程给出时,曲线积分,定积分,(1)L：y=y(x),axb,假设 y(x)C1(a,b).有,(a b),计算：,(2)L：x=x(y),cyd,假设 x(y)C1(c,d).有,(c d),曲线积分,定积分,(3)L：,假设(t)，(t)C1(,).有,(),曲线积分,定积分,(4)L：,假设 r()C1(,).有,曲线积分,定积分,(),例1.计算,其中
5、 L 为y2=2x自点(0,0)到点(2,2),的一段弧.,例2.计算,L:连接O(0,0),A(1,0),B(0,2)的闭折线OABO.,解：L分段光滑,ds=dx,ds=dy,=2,L:x=acos t,y=asin t,0t2,(2)空间曲线的第一型曲线积分的计算,例4.计算,其中：从点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的直线段.,化成参数方程：x=3t,y=2t,z=t,0t1.,注 关于对弧长的曲线积分的对称性,若 L 关于 y 轴对称,其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段,若L关于 x 轴对称,其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段,若 L 关于 原点 对称,其中 L
6、3 是 L 的对称的部分弧段,若 L 关于直线 y=x 对称,与重积分的对称性十分类似,例5,解,由对称性,知,例4.求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内部的那部分面积.,解：A=4A1,0 xa,z,y,x,L,解一,将L表示为,解二,将L表示为,解三,将L表示为参数方程,例2,解,例3,解,例4,解,实例:变力F沿曲线L所作的功,常力F沿直线AB所作的功,分割,2.第二型曲线积分（对坐标轴的曲线积分）,问题的提出,求和,取极限,近似值,精确值,2.第二型曲线积分,1.第二型曲线积分的概念,(2)空间曲线L的第二型曲线积分,对坐标轴的曲线积分,(3)第二型曲线积分的
7、性质,2.第二型曲线积分的计算-(1)平面曲线L由参数方程给出,对应起点A,对应终点B,(2)平面曲线L由y=g(x)给出,(3)平面曲线L由x=h(y)给出,曲线积分的基本算法是化为参数的定积分,(4)空间曲线L由参数方程给出,曲线积分的基本算法是化为参数的定积分,例1,计算,其中L分别为图中的路线:,(i)AB(直线);,(ii)ACB(抛物线,(iii)ADBA(三角形),解:,(i),AB(直线)的方程为:,y=2x-1,A,B,x:,1,2,例1,计算,其中L分别为图中的路线:,(i)AB(直线);,(ii)ACB(抛物线,(iii)ADBA(三角形),A(1,1),D(2,1),B
8、(2,3),c,解:,(ii),ACB的方程为:,A,B,x:,1,2,原式,例1,计算,其中L分别为图中的路线:,(i)AB(直线);,(ii)ACB(抛物线,(iii)ADBA(三角形),A(1,1),D(2,1),B(2,3),c,解:,(iii),例2,计算,其中：,(i)沿抛物线 y=2x2,从O到B的一段；,(ii)沿直线 y=2x 从O到B的一段；,(iii)沿封闭线路OABO。,解:,(i),(ii),(ii),例3,计算,其中L为圆心在原点半径为r 的圆周,取逆时针方向.,解:,L的参数方程为,例3,计算,其中L是螺旋线,从,到,一段.,解:,例2,解,例1,解,例4,解,3
9、.第一型曲线积分与第二型曲线积分的联系,当空间曲线L由参数方程给出,3.格林公式平面第二型曲线积分与路径无关的条件,1.简单闭曲线L,2.若尔当定理,3.单连通区域/多连通区域,(单连通区域),3.单连通区域/多连通区域,(多连通区域),4.L+,当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向,单连通区域,4.L+,多连通区域,当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向,5.格林公式,格林公式的证明：,格林公式的证明：,格林公式的证明：,格林公式的证明：,格林公式的证明：,格林公式的证明：,应用格林公式的注意事项,设闭区域D由分段
10、光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有,其中L是D的取正向的边界曲线,格林公式,应注意的问题:对多连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向,Green 公式主要用于通过化曲线积分为二重积分来计算曲线积分,格林公式的特殊情况-计算平面区域的面积,在少数特殊清况下,可用Green 公式化二重积分为曲线积分,1.简化曲线积分,L,解,不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向,当(0 0)D时,由格林公式得,记L所围成的闭区域为D,在D内取一圆周l x2y2r2(r0),当(0 0)D时,记L及l所围成的多
11、连通区域为D1 应用格林公式得,其中l的方向取顺时针方向,于是,不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向,证明：,证明：,2.简化二重积分,B,例 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A,解,若用二重积分计算则较繁琐:,解,由对称性，只需计算第一象限部分的面积,例5,计算星形线 所围图形的面积,解一,用定积分,解二,用曲线积分,2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,证明：必要性,A,n,D,B,m,2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,证明：充分性,C,D1,D,证明：必要性,C0,D0,D,M0,r,证明：必要性,解,不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向,当(0
12、 0)D时,由格林公式得,记L所围成的闭区域为D,在D内取一圆周l x2y2r2(r0),当(0 0)D时,记L及l所围成的多连通区域为D1 应用格林公式得,其中l的方向取顺时针方向,于是,不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向,应用定理2应注意的问题,(1)区域D是单连通区域(2)函数P(x y)及Q(x y)在D内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立,讨论,提示,在上例中已看到,当L所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及,连续性条件的点(0,0).,解,这里P2xy Qx2,选择从O(0 0)到A(
13、1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线,物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧,解,解,2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,证明：充分性,证明：必要性,O,y,x,证明：必要性,O,y,x,证明：必要性,O,y,x,证明：必要性,O,y,x,2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,证明：,注意,平面第二型曲线积分与路径无关的条件,求原函数u的方法,求原函数u的方法,解,这里,因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有,是某个函数的全微分,取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线,半平面(x0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数,则所求函数为,例 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数,这里Pxy2 Qx2y,解,因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有,所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分,取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为,例4,试用曲线积分求,的原函数.,解:,所以,故,有原函数,且,就是,的一个原函数.,A,B,C,取(X0,Y0)=(0,0),并按如图路线计算u(X,Y),得,故所求的原函数为:,求原函数的公式,-曲线积分,格林公式小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,
