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1、设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1,x2,xn,称为一个数列.xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f(xn),第一节数列的极限,一、数列的极限,例.,看数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?,注意到,实数a,b的接近程度由|ab|确定.|ab|越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,|xn1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn1|
2、越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,|xn1|比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1|会越来越接近于0.,事实上,给,很小,只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给,则从第10001项开始,以后各项都有,一般,任给 0,不论多么小,只须,.因此,从第,项开始,以后各项都有,.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,定义:设xn是一个数列,a是一个常数,若 0,正整数N,使得当nN时,都有|xna|,则称a是数列
3、xn当n无限增大时的极限,或称xn收敛于a,记作,这时,也称xn的极限存在,否则,称xn的极限不存在,或称xn是发散的.,比如,对于刚才的数列1.有,注1.定义中的是预先给定的,任意小的正数,其任意性保证了xn可无限接近于a,另外,又是确定的,它不是变量.,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,注2.一般说来,N随给定的变化而变化,给不同的 确定的N也不同,另外,对同一个来说,N不是唯一的(若存在一个N,则N+1,N+2,均可作为定义中的N.),若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,注3.,定义中“当nN时,有|xna|”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有|xn
4、a|,至于以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关.改变,去掉数列的前有限项,不改变数列收敛或发散的性质.,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,几何意义:,x2,x1,a-,xN+5,a,xN+1,a+,x3,x,),(,xN,由于|xna|a xn a xn(a,a+)=U(a,).因此,所谓xn以a为极限,就是对任何以a为心,以任意小的正数 为半径的 邻域,总能找到一个N,从第N+1项开始,以后各项都落在邻域 U(a,)内,而只有有限项落在U(a,)外部.看图.,例1.若xn=c(常数),则,若 0,正整数N,使得当
5、nN 时,都有|xna|,证:,0.由于|xn1|=|c c|=0,取N=1,当nN时,有|xnc|=0,故,即常数的极限就是常数本身.,例2.设q是满足|q|1的常数,证明,证.若 q=0,结论显然成立.,0.,设 0|q|1.,现在,xn=qn,a=0.,(要证N,当nN时,有|qn 0|),因|xn a|=|qn 0|=|qn|=|q|n,要使|xn a|,只须|q|n 即可.,即 n ln|q|ln,取正整数,则当 n N 时,有,从而有,|qn 0|,例3.证明,证:0,要使,则当nN时,有,(要证N,当nN时,有,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,例4.,证:,0,
6、由于,要使|xn a|,则当 n N 时,有,例5.,证:(1)设 a=1,结论显然成立.,(2)设 a 1,从而,1+nn,0,(3)设 0 a 1,即 0,N,当nN时,有,.,(因 0 a 1),综合得,本例也可用有理化的方法处理.,注意到公式,从而,(分母都用1代).,以下同(2).,证:,反设xn收敛,但极限不唯一,设ba,取,即,xna,且xn b,(n),ab.,第二节数列极限的性质及收敛准则,一、数列极限性质,定理1.若数列收敛,则其极限唯一.,由极限定义,1,当nN1时,N2,当nN2时,取N=maxN1,N2,则当nN时,上两式同时成立.,从而当 nN时,有,矛盾,故极限唯
7、一.,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,几何意义:,数列的有界性.,定义:没有数列xn=f(n),若M0,使得|xn|M,n=1,2,.则称数列xn有界,否则,称xn无界.,由于|xn|MMxnM xnM,M.,故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间M,M内.,看图,例1.xn=(1)n有界,而xn=n2无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x1,x2,x3,0,x2n,x2n-1,设xna(n),则对n=1,2,有|xn|M,证:,由定义,对=1,存在自然数N,当nN时,有|xna|1,故|xn|xna|+|a|1+|a|.取M=max|x1|,|x2|,|xN|
8、,1+|a|,M,若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|,定理2.若xn收敛,则xn有界.,定理2的逆命题不成立,如xn=(1)n有界,但由定义和几何意义知(1)n是发散的.,看图,x,1,1,0,(,),(,),定理3.,证：如图,(1),(2),取 N=maxN1,N2,则当 n N时,(1),(2)同时,成立，即 xn yn.,在定理3中取 yn=0.,故正整数N,当nN时,证:,则,从而 a b=0.,类似证明 a 0的情形.,推论2.,证:反设 a N1时,有xn yn.,取 N2=maxN,N1,则当 n N2(N)时,有 xn yn.,此与条件矛盾.,推论3:设有数列x
9、n,若正整数N,当nN时,则,有 xn0(xn0).且,a0(a0).,比如,注:在推论3中,即使xn0,也只能推出a0,定理4.,xn yn zn,证:,0,N1,当n N1时,有|xn a|.,(1),即 a xn a+(2),(夹逼定理).设数列xn,yn,zn满足正整数N,当 n N 时,有,N2,当n N2时,有 a zn a+(3),取 N*=maxN,N1,N2,则当n N*时,(1),(2),(3)同时成立.,有,a xn yn zn a+,即|yn a|.,特别,若在夹逼定理中,xn 和 zn 中有一个为常数列,并满足定理条件.定理当然成立.,即,若 a yn zn,夹逼定理
10、的意义有:(1)给出判断数列 yn 存在极限的方法;,(2)给出了求 yn 的极限的方法.,这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.,例2.求,解：用夹逼定理求解，,记,适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式,考虑将 xn,由于,所以,例3.求数列,解：回忆结论,得出当 a 1 时的结论的方法是,记,得,得,现在类似，记,则,解得,易证,所以,所谓数列xn 子列，就是从数列 x1,x2,xn,中任取无穷多项，,这个数列称为xn的子列.,比如，x2,x5,x14,x78,就是xn的一个子列,上列中n1=2,n2=5,n3=14等.,二、子列,注：,易见 k nk.,前必已从xn中抽出了k1项，,
11、xn的第 k 项后的项中抽出，,也即 k nk.,(3)对任何两个正整数 h,k,若 h k,则有 nh nk.,反之，若 nh nk,则 h k.,这是因子列次序与原数列次序相同.,在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.,a 的定义是：,此时，记为,或,定理5.,证：充分性.,由于xn可看作它自已的一个子列.,由条件 xn 的任何子列都以 a 为极限，,故,必要性.,注：由定理5，若 xn 的两个子列一个收敛于 a,而另一个收敛于 b，且 ab,则xn发散；,或者，xn中有一个子列发散，则xn发散.,0,1,0,1,发散.,1,0,1,0,1,0,1,0,发散.,推论.,若数
12、列xn满足 x1x2xn,则称xn为单调递增数列.,若x1x2xn,则称xn为单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,三、收敛准则,例4.xn=n2是单调递增数列,但xn是发散的.,xn=(1)n是有界数列,但xn=(1)n也是发散的.,定理6.单调递增且有上界的数列必有极限;,单调递减且有下界的数列必有极限.,即,单调有界数列必有极限.,例5.数列,是单调递增且有上界的数列.,证:首先注意到,当ab0时,有,移项,有,即,(1)取,有,即,(2)取,有,即,(e=2.71828,为一无理数),定理7:,|xnxm|.,证：略,(柯西收敛准则)数列xn收敛的充要条件是 0,N
13、0,当n,mN 时，有,例6.利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+qn(|q|1)收敛.,证：0，设 m n，,|xmxn|,要使|xmxn|,只须,即(n+1)ln|q|ln(1|q|),取正整数,则当 n,mN 时，有|xnxm|.,故 xn 收敛.,定义1.,或,0,N 0,当 n N 时,有|xn|.则称 为无穷小量(无穷小数列).,第三节 数列极限运算,一、无穷小量,(1)无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0,则不是无穷小量.,所以,除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.,(3)常数列 xn=0 是无穷小量.,注:,定理1.(极限与无穷小的关系定理),证:
14、,0,N 0,当 n N 时,有|xna|.,即|n|.,故 xn=a+n,其中n 0(n+时).,则 0,N 0,当 n N 时,有|n|.,即|xna|.,若 xn=a+n,其中n 0(n+时).,故,性质1.有限多个无穷小量的代数和为无穷小量.,性质2.有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小量.,则 xn yn 是无穷小量.即 有界量乘无穷小量仍为无穷小量.,推论.常量乘无穷小量仍为无穷小量.,性质3.若 xn 是无穷小量,|yn|M(当 n N 时),性质4.若 xn 是无穷小量,yn a(0),则,1.两个无穷小量的商不一定是无穷小量.,2.性质1,2中的条件有限多个不能丢.,注:,例1.
15、,解:,例2.,解:,故 原式=0.,看数列 xn=n2,即，1,22,32,n2,.,当 n 越来越大时,数列 xn 的值也越来越大,要多么大就有多么大,可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).,二、无穷大量,定义2.若 G 0(无论多么大),N 0,当 n N,时,有|xn|G,则称 xn 为无穷大量,记作,(1),(2)任何常数列(常量)都不是无穷大量.,注:,即,当n N 时,xn 都落在区间 G,G外面.,在 G,G内,只有 xn 的有限多个项.,例3.设|q|1.,证:G 0,(要证N 0,当 n N 时,有|qn|G),要使|qn|=|q|n G.,只须,则当
16、 n N 时,有|qn|G,故,例4.数列 xn=(1+(1)n)n 是否为无穷大量?,解:数列 xn 为,0,22,0,24,0,26,.,如图,所以 xn 不是无穷大量.,定义3.,从几何上看,xn.,xn+.,证:设 xn 为无穷大量,要证 为无穷小量.,0,因 xn 为无穷大量.,从而,定理2.若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量.,若 xn 是为无穷小量(xn 0),则 为无穷大量.,(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.,比如,当n+时,n2,n2,但,n2+(n2)=0,都不是无穷大量.,但,+(+)=+,+()=.,注:,(2)有界量乘无穷大量不一定
17、是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量),特别,比如,当xn=n2,yn=0,则 xnyn=0 不是无穷大量.,(3)若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对.,如,当xn=(2+(1)n)n.无界,但不是无穷大量.,(4)=,(有界量)=.,定理3.设数列 xn和 yn 的极限都存在.且,则,(1),(2),(3)设 C 为常数，有,(4)当 b0 时，有,三、数列极限的运算法则,证：只证(1).,因,由极限与无穷小关系，,有，,xn=a+n,yn=b+n，其中n,n0(n+).,从而 xn yn=(a b)+(n n),由无穷小量性质知n n0(n+),再由极限与无穷小
18、的关系定理，知,定理4.若,证：由于,注意到不等式|A|B|A B|,从而|xn|a|xn a|,故,反之不对.,比如,设 xn=(1)n.,例5.求,解:,一般,称形为 f(x)=a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式.其中k为非负整数，ai为常数,a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).,对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时),可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.,由于分母的极限等于5(0),分子的极限等于3，,=0，,=.,故,一般，若 a0,b0 都非0，则,，,0，,k L,k L,例6.求,解：有理化.,=50.,例7.求,解：注意到
19、求和公式,=2.,例8.求,解：注意到,从而,所以，原式=,例9.求,解：注意到,从而，,故,例10.设x0=1,证明 xn 的极限存在，并求之.,证：,通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1),注意到 0 xn 2,即 xn 有界.,且x1 x0,同理，,=,即 xn 单调递增.,因 xn 0,故 a 0.,设有数列u1,u2,un,则式子,称为一个(常数项)无穷级数.,第n项un称为级数,的一般项或通项.,第四节常数项级数的概念和性质,一、基本概念,级数是无穷多个数的和.它可能是一个确定的数,也可能不是一个确定的数.,
20、比如,0+0+0+=0,而1+1+1+就不是,一个数.,记 Sn=u1+u2+un.称为此级数的前n项部分和.,(如 S1=u1,S2=u1+u2,Sn=u1+u2+un.),由部分和构成的数列S1,S2,Sn,称为此级数的部分和数列.,易见.(i)un=SnSn 1,(ii)从形式上看,有,定义:,则称此级数收敛,极限值S 称为该级数的和.,记作,称为该级数的余和(余项,余式),例1.,称为等比级数.r 称为公比.讨论等比级数敛散性.,解:,从而,(i),事实上,若0 r 1,若1 r 0,则 r=|r|,rn=(1)n|r|n,从而,(ii),(iii),(iv),不存在.,综合:,例2.
21、,解:,故,故该级数收敛,且有,例3.,证:,故此级数发散.,例4.证明级数,收敛,并求它们的和S.,解:为求Sn.,故级数,从而,且 S=2.,性质1.(级数收敛的必要条件).,证:,由于 un=Sn Sn1,二、基本性质,注1.,性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件.也即,注2.性质1的逆否命题为,这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.,例.级数 1+2+n+,故级数发散.,故此级数发散.,性质2.,则,R,证:,特别(i)取=1,=1.,(ii)取=0.,推论:,证:,由性质2.,矛盾.,性质3.,证:只证在级数中去掉一项的情形.其余情形类似.,u1+u2+uk1+uk+1+,在级数
22、中去掉或增加有限项.不改变级数的敛散性.,由于uk是常数,其极限存在且为uk.因此,即新级数与原来的级数有相同的敛散性.,性质4.,则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛,且其和不变.,即,若 u1+u2+un+=S.(收敛),则任意加括号后所成新级数.,(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+=V1+V2+V3+=S.(收敛),其中,V1=(u1+u2),V2=(u3+u4+u5),V3=(u6+u7),证:用m表示加括号后所成级数,V1+V2+V3+=(u1+u2)+(u4+u4+u5)+(u6+u7)+的前m项部分和.,则 1=V1=(u1+u2)=S2,2=V1+V2=S
23、5,3=V1+V2+V3=S7,一般,设m=Sn.,其中 m n.,当m时,n.从而,故,加括号后所成级数收敛于S.,注:,比如,级数(11)+(11)+(11)+收敛于0.,但去括号的级数,是发散的.,或由S2n=0,而S2n1=1,性质4的逆命题不成立.即,若加括号后所成级数收敛.不能保证原来级数(即,去括号的级数)收敛.,推论:若加括号的级数发散.则原来级数发散.,证:(略),例4.,证:注意不等式.若x 0.,故调和级数发散.,例5.,证:,记Wn=un+Vn.,从而Vn=Wn un.,正项级数的部分和数列 Sn=u1+u2+un 是单调递增数列 0 S1 S2 Sn.,第五节 常数项
24、级数敛散性的判别法,一、正项级数敛散性的判别法,从而Sn有界,也,就有上界.,定理1.正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).,推论:,(最后一个充要条件可由无界数列.无穷大量的定义以及Sn单调递增得到.),定理2.(比较法).,n=1,2,则,(1),(2),证:,故,(1),(2),注2.实际应用时,要判正项级数收敛.可将un,注1.定理2中条件“un Vn”只须从某项开始,以后一直成立即可.,逐步放大,un Vn.,例1.,解:(1)若 0 P 1.,(2)若 P 1.考虑对P级数按下列方法加括号所成级数.,从而,加括号的P级数收敛.,原来级数收敛加括号的级数收敛.”,由
25、于“对正项级数而言,故,当P 1时,P级数收敛.,推论.(比较法的极限形式),则这两个级数有,相同的敛散性.,例2.,解:常以P级数和调和级数作为推论中的,例3.,解:,定理3.(比值法,或,达朗贝尔判别法).,则,(1)1时,级数收敛.,(2)1或=+时,级数发散.,(3)=1时,级数可能收敛也可能发散(须用另外的方法判断).,例4.,解:,1,故级数收敛.,例5.,解:,故级数发散.,例6.,解:,所以,用比值法无法判定其敛散性,改用比较法.,则,定理4.(根值法,或柯西判别法).,则,(1)1,级数收敛.,(2)1或=+时,级数发散.,(3)=1时,级数可能收敛也可能发散,例7.,解:,
26、交错级数各项是正负交错的.,二、交错级数及其敛散性判别法,定理5.(莱布尼兹判别法),则级数收敛,且其和 S u1.,证:我们来证明部分和数列Sn收敛,为此,只须证明,(1)因S2n=(u1 u2)+(u3 u4)+(u2n1 u2n)0.,且易见,S2(n+1)S2n.,以及,S2n=u1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n u1.,故数列S2,S4,S6,S2n,单调递增有上界.从而存在极限.,(2)S2n+1=S2n+u2n+1,=S+0=S,综合(1),(2)知,问:若将条件(1)改为un un+1,n=N,N+1,N+2,结论是否全对,应如何修改.,例8.,解:此为交错
27、级数.,由莱布尼兹判别法,级数收敛.,注:本题是由调和级数,即un为任意实数.称为任意项级数.,将各项取绝对值,作成一个正项级数,还可为0.,三、绝对收敛与条件收敛,条件收敛.,定理6.,即,绝对收敛的级数必为收敛级数.,证:,即,当un 0时,Vn=un.,当un 0时,Vn=0.,例9.,解:,例10.,解:,即,原级数不是绝对收敛.,综合知,原级数条件收敛.,由莱布尼兹判别法,原级数收敛.,注1:,注2:若用柯西判别法或达朗贝尔判别法判出,发散,则,取实数r,使得,由保号性定理,N.当n N时,例11.,解:,由上面的注2,原级数发散.,定理7.(狄利克雷判别法),(1)un单调减少,且,(2),其中M 0为与n无关的常数.,证:略,例12.判别,解：记,考虑|cosx+cos2x+cosnx|的有界性.,若取则将,均化为和差后,右边有一项绝对值相同,符号相反,可抵销.,故考虑,注意到 cosAsinB,以及,由于,从而,即,由定理7,因,
