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1、设yf(x)0(xa，b),A(x)f(t)dt,A(x)f(t)dt是以a,x为底的曲边梯形的面积,A=f(x)dx 是以a,b为底的曲边梯形的面积,5.4 定积分在几何问题中的应用举例,一、定积分的元素法,曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f(x)dx，,点x处，高为f(x)、宽为dx的矩形的面积为：f(x)dx,DAf(x)dx，且DAf(x)dxo(dx),f(x)dx称为曲边梯形的面积元素,以a，b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式，以a，b为积分区间的定积分：,A(x)f(t)dt,A f(x)dx,一般情况下，为求某一量U(不一定就是面积，即使是面积
2、也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间a，b上的函数U(x)，再求这一量在a，b上的元素d U(x)，设d U(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以a，b为积分区间求定积分即得,用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法),U u(x)dx,注：量U的特点：1：与区间a,b有关；2：具有可加性。,微元法的步骤：1：取积分变量并决定其变化区间a,b；2：在区间a,b上找一小区间x,x+x,得微元Uf(x)dx=dU，且UdU=o(dx)3:在区间a,b上相加(在a,b上做定积分)得,主要思想：以直代曲；以不变代变。,二、平面图形的面积,求由曲线y=f 上(x)、y=
3、f 下(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积,面积元素为：,所求图形的面积为：,f 上(x)-f 下(x)dx,A=f 上(x)-f 下(x)dx,1.直角坐标的情形,讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？,A1=A2=f 上(x)-f 下(x)dx,a,b,求由曲线y=f 上(x)、y=f 下(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：,所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差,y=f 上(x),y=f 下(x),A=f 上(x)dx,-f 下(x)dx,例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积,解 在区间0,1上过x点且垂直
4、于x 轴的直线左侧的面积记为A(x)，,于是面积元素为,得所求的图形面积,以0,1为积分区间求定积分,直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为,A(x),DA(x 2)dx，,以(x 2)dx为被积表达式，,dA=(x 2)dx，,例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积,解,y 2=2x,y=x-4,(8,4),(2,-2),例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积,解,求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4),将图形向 y 轴投影得区间2，4,A(y)为区间2，4上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积,直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为,于是面积元
5、素为,所求的图形面积为,DA(y 4 y2)dy，,dA=(y 4 y2)dy，,解,设椭圆在第一象限的面积为A1，,则椭圆的面积为A4A1,第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为0，a,因为面积元素为ydx，,于是,A 4A1 a b,所以,2.极坐标的情形,曲边扇形及曲边扇形的面积元素：,由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形,曲边扇形的面积为,曲边扇形的面积元素：,例4 计算阿基米德螺线ra(a 0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积,解,2pa,ra,d,例5 计算心形线ra(1cos)(a0)所围成的图形的面积,解,三、体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内
6、一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体,1.旋转体的体积,旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,yf(x),设过区间a，b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)，,旋转体的体积为,dV f(x)2dx，,于是体积元素为,DVf(x)2dx，,当平面右平移dx后，体积的增量近似为,V(x),dx,x,例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体计算这圆锥体的体积,体积元素为,解 过原点O及点P
7、(h，r)的直线方程为,所求圆锥体的体积为,V,()2dx,x 3 h r 2,及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体,旋转体(旋转椭球体)的体积,体积元素为,于是所求旋转椭球体的体积为,dV y 2dx，,例2 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的,解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆,V y 2dx,(a 2x 2)dx,a 2x x 3,a b 2,课堂练习：求y=sinx在x=/2处的切线及x=所围图像绕x轴旋转而成的旋转体的体积。,解：,2.平行截面面积为已知的立体的体积,设立体在x轴的投影区间为a，b，,则体积元素为A(x)dx，,立体的体积为,面与立体相截，已知截面面积为A(
8、x)，,V A(x)dx,A(x),过点x 且垂直于x轴的平,例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积,解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x 2 y 2R 2,于是所求的立体体积为,x 2 y 2R 2,截面积为A(x)(R 2x 2)tan a，,V(R 2x 2)tan a dx,tan a R 2x x 3,R 3tan a,四、平面曲线的弧长,定理 光滑曲线弧是可求长的,设A，B 是曲线弧的两个端点,AM0，M1，M2，Mi1，Mi，Mn1，MnB，,并依次连接相邻的分点得一内接
9、折线,当分点的数目无限增加,极限存在，,是可求长的,则称此极限为曲线弧AB的弧长，,M0,=Mn,如果此折线的长|Mi1Mi|的,1.直角坐标的情形,设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出，其中f(x)在区间a，b上具有一阶连续导数,曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为，,弧长元素(即弧微分)为,已知曲线的弧长为,s,讨论：,(2)设曲线弧由极坐标方程r=r()()给出，其中r()在，上具有连续导数，问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？,解,因此，所求弧长为,yx 1/2，,从而弧长元素,例1 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度,ds,，,s,，,解,从而弧长元素为,
10、ds,因此，所求弧长为,s,长度,例2 计算悬链线 上介于xb与xb之间一段弧的,课堂练习,解：,2.参数曲线的情形,设曲线弧由参数方程,其中(t)、(t)在，上具有连续导数如图,dx(t)d t，,所以弧长元素为,所求弧长为,(t),，,解,所求弧长为,8a,弧长元素为,x()a(1cos)，y()a sin,ds,s,3.极坐标的情形,设曲线弧由极坐标方程,给出，其中r()在，上具有连续导数,由直角坐标与极坐标的关系可得,r=r()(),于是得弧长元素为,从而所求弧长为,解,ds,于是所求弧长为,例4 求阿基米德螺线ra(a0)相应于 从0到2 一段的弧长,s,弧长元素为,r()a,，,课
11、堂练习,解：,5.6 定积分在物理中的应用举例,解,于是所求的功为,W,r,例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为,当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(ab)处时，计算电场力F对它所作的功,F(k是常数),一、变力沿直线所作的功,解 取坐标系如图,因为VxS，所以,于是，作在活塞上的力为,功元素为,F pS,于是所求的功为,条件下，,W,x,x+dx,由物理学知道，一定量的气体在等温,压强 p与体积V的乘积是常数k，即,例2 在
12、底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体在等温条件下，由气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处计算在移动过程中，气体压力所作的功,=,例3 一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？,解 作x轴如图,取深度x 为积分变量 0 x5,相应于0，5上任小区间x，xdx的一薄层水的高度为dx,水的比重为98kN/m3，这薄层水的重力为 983 2dx,这薄层水吸出桶外需作的功近似地为,dW882xdx，,此即功元素,W,5m,x,x+dx,于是所求的功为,(kj),从物理学知道，在水深为h处的压强为ph，这里 是水的比重如果有一
13、面积为A 的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为PpA 如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算,二、水压力,A(0,5),B(20,3),例4,20,解：直线AB方程为：,即：,压强为：xg.长为：2y=(10-x/2),压力元素为：dF=xg2y=xg(10-x/2)dx,O,例5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水设桶的底半径为 R，水的比重为，计算桶的一个端面上所受的压力,解 桶的一个端面是圆片，与水接触的是下半圆,取坐标系如图,在水深 x 处于圆片上取一窄条，其宽为dx，,得压力元素为,所求压力
14、为,P,R,三、引力,从物理学知道，质量分别为m 1、m 2，相距为r的两质点间的引力的大小为,其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向,F,如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方程向也是变化的，就不能用上述公式来计算,，,例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M试计算该棒对质点M的引力,解 取坐标系如图，由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分量,于是在水平方向上，引力元素为,在 y 轴上于y点取长为dy 的一小段，,引力在水平方向的分量为,Fx
15、,y,a,r,直角坐标系下,参数方程下,极坐标,5.4 广义积分,定义1 设函数f(x)在区间a，)上连续，取ba 如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a，)上的广义积分，,即,如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间a，)上的广义,一、无穷限的广义(反常)积分(generalized integral),类似地，设函数f(x)在区间(，b 上连续，取ab 如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(，b上的广义积分，,即,设函数f(x)在区间(，)上连续，如果广义积分,都收敛，则称上述两个广义积分的和为函数f(x)在无穷区间,(，)上的广义积分，,即,发散,其几何意义
16、见书P312,定理1：设F(x)为f(x)在区间a,+上的一个原函数，则,设F(x)为f(x)在区间,+上的一个原函数，则,例1：,例2：,发散,当p1时，这广义积分发散,例3 证明广义积分(a0)当p1时收敛，当p1时,证 当p1时，,当p1时，,当p1时，,例：讨论反常积分的收敛性,都不存在，所以反常积分发散,二、无界函数的广义积分,定义2 设函数f(x)在区间(a，b上连续，而在点a 的右邻域内无界取0，如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在(a，b上的广义积分，仍然记作,即,，,如果上述极限不存在，就称广义积分 发散,这时也称广义积分 收敛,类似地，设函数f(x)在区间a，b)上连
17、续，而在点b 的左邻域内无界取0，如果极限,存在，则称此极限为函数f(x)在a，b)上的广义积分，仍然记作,即,，,如果上述极限不存在，就称广义积分 发散,这时也称广义积分 收敛,设函数f(x)在区间a，b上除点 c(acb)外连续，而在点 c 的邻域内无界如果两个广义积分,都收敛，则定义,否则，就称广义积分 发散,所以被积函数在点a的左邻,域内无界,其几何意义见书P315,定理2：设F(x)为f(x)在区间(a,b上的一个原函数，则,设F(x)为f(x)在区间a,b)上的一个原函数，则,例4：,例5：因为,证明 当p1时，,当p1时，,当p1时，,求反常积分,解：,说明：对于在无穷间断点，及无穷远处极限存在的反常积分，可像定积分一样作换元计算,作业：P317 1(2、4、5、8),
