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1、,2,一、基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),上侧和下侧,内侧和外侧,左侧和右侧,3,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,4,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,5,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,有向曲面的投影问题:,6,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧的流量.,7,8,1.分割,则该点流速为.,单位法向量为.,9,3.求和,10,4.取极限,11,三、概念及性质,12,被积函数,积分曲面,类似可定义,13,存在条件:,组合形式:,物理意义:,14,性质:,15,四、计算法,16,17,注意(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的
2、侧.,18,解,19,20,其中 是旋转抛物面,取下侧。,解：,在xoy 面投影域为,取 的方向为下侧，,其中：,把 分成两部分：,21,取前侧；,取后侧。,22,23,例3.计算积分,其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立,方体的整个表面的外侧.,解:,由被积表达式及积分曲面的对称性知,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,24,五、两类曲面积分之间的联系,25,26,27,两类曲面积分之间的联系,28,向量形式,29,例4.设,是其外法线与 z 轴正,向夹成的锐角,计算,解:,30,解,31,32,33,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,34,35,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,36,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,37,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,38,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,39,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,40,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,41,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,42,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,43,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,44,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,45,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,46,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,47,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,48,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,49,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,
