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1、2023/10/20,同济版高等数学课件,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,*三、通量与散度,高斯公式*通量与散度,第十一章,2023/10/20,同济版高等数学课件,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,下面先证:,函数 P,Q,R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯,的方向取外侧,2023/10/20,同济版高等数学课件,证明:设,称为XY-型区域,则,定理1,2023/10/20,同济版高等数学课件,所以,若 不是 XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成
2、若干个 XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证 Gauss 公式：,定理1,2023/10/20,同济版高等数学课件,例1.用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss 公式,得,原式=,及平面 z=0,z=3 所围空间,思考:若 改为内侧,结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,利用质心公式,注意,2023/10/20,同济版高等数学课件,例2.利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于z=0及 z=h,之间部分的下侧,为法向量的方向角.,所围区域为,
3、则,2023/10/20,同济版高等数学课件,利用质心公式,注意,思考:计算曲面积分,提示:作取上侧的辅助面,介于平面 z=0 及 z=2,之间部分的下侧.,先二后一,2023/10/20,同济版高等数学课件,例3.,设 为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,2023/10/20,同济版高等数学课件,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式,例4.设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,注意:,高斯公式,2023/10/20,同济版高等数学课件,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.,2023/10/20,同济版高等数学课件,*二、沿任意
4、闭曲面的曲面积分为零的条件,1.连通区域的类型,设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维单连通域;,若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域.,既是一维也是二维单连通区域;,是二维但不是一维单连通区域;,是一维但,2023/10/20,同济版高等数学课件,2.闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证:“充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“
5、必要性”.用反证法.,已知成立,2023/10/20,同济版高等数学课件,因P,Q,R 在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,则由,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,高斯公式,得,2023/10/20,同济版高等数学课件,*三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,2023/10/20,同济版高等数学课件,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过
6、 的流量为,当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.,流出的,表明 内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,2023/10/20,同济版高等数学课件,方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,2023/10/20,同济版高等数学课件,定义:,设有向量场,其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量).,在场中点 M(x
7、,y,z)处,divergence,显然,2023/10/20,同济版高等数学课件,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,散度意义,2023/10/20,同济版高等数学课件,例5.求向量场,解:记,穿过曲面 流向上侧的通量,其中 为柱面,被平面,截下的,有限部分.,则 上侧的法向量为,在 上,故所求通量为,2023/10/20,同济版高等数学课件,例6.,置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,2023/10/20,同济
8、版高等数学课件,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,2023/10/20,同济版高等数学课件,2.*通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G 内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,2023/10/20,同济版高等数学课件,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2),为,2023/10/20,同济版高等数学课件,作业,P234 1*(2),(4),(5);*2(2);*3;4,第七节,2023/10/20,同济版高等数学课件,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体,是 外法线向量与点(x,y,z)的向径,试证,证:设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,
