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1、,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,2023/10/20,高等数学,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束,类似,例5.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,(P196 例16),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解:,机动 目录 上页 下页
3、返回 结束,例13.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例15.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,机动 目录 上页 下
4、页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式,例16.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例18.求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,(参考书上 P201-P202),或,或,机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束,三角代换外,还可利用公式,原式,例19.求,解:令,则,原式,当 x 0 时,类似可得同样结果.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节讲,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用基本积分公式的补充(P203),(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:原式,(P203 公式(20),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例20.求,例21.求,解:,(P203 公式(23),例22.求,解:原式=,(P203 公式(22),机动 目
6、录 上页 下页 返回 结束,例23.求,解:原式,(P203 公式(22),例24.求,解:令,得,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例25.求,解:原式,令,例16,例16 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
