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1、,8.6 采样控制系统的稳定性分析,1、自动控制原理：是关于自动控制系统建模、分析 与设计的一套完整的理论。,相关知识及上次课内容回顾：,稳：指控制系统的稳定性。快：指控制系统的快速性。准：指控制系统的准确性。,2、分析控制系统的性能指标：稳、快、准。,前面几次课中主要是针对采样控制系统的数学模型进行了讨论。,差分方程 开环脉冲传递函数 闭环脉冲传递函数,稳定的概念复习,如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远，则称系统是不稳定的或不具有稳定性。,几点注意：1、稳定
2、性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。,2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只取决与系统的结构参数，与系统的输入无关。,线性连续系统稳定判据复习,劳斯判据赫尔维茨判据根轨迹法Nyquist稳定判据对数频率稳定判据,8.6 采样控制系统的稳定性分析,8.6.1 采样系统的稳定条件8.6.2 劳斯稳定判据8.6.3 朱利稳定判据（以大家自学为主）8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响,8.6 采样控制系统的稳定性分析,8.6.1 采样系统的稳定条件,问题的提出！在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定
3、。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。,一z平面与s平面的映射关系,几种情况讨论,（1）s平面的虚轴，z平面，即。,左半平面,虚轴,右半平面,左向右移,单位圆内,单位圆上,单位圆外,半径扩大,（2）,可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。,图8-21：线性采样系统结构图,二、线性采样系统稳定的充要条件,线性采样系统如图8-21所示。,其特征方程为,显然，闭环系统特征方程的根1、2、n即是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征
4、根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。,例1、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为：,问题的提出,用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。,8.6.2 劳斯稳定判据,对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。,根据复变函数双线性变换公式，令,
5、或,式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即,当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：,左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。,图8-22：Z平面和W平面的对应关系,离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半W平面。,例2 设闭环离散系统如图8-23所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。,图8-23：例2闭环系统图,解：求出G(s)的z变换,闭环系统脉冲
6、传递函数为,故闭环系统特征方程为,代入上式，得,列出劳斯表,从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k0，2.736-0.632k0，即k4.33。,化简后，得W域特征方程,8.6.3 朱利稳定判据(以大家自学为主),朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定性。,8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响,稳定性是控制系统的一种固有特性，只取决与系统的结构参数即闭环传递函数，与系统的输入无关。影响采样系统稳定性的因素有哪些
7、？,1、开环增益K;2、系统的零极点分布；3、纯滞后环节；4、采样周期T的取值。,例3 设有零阶保持器的离散系统如图8-24所示，试求：,（1）当采样周期T分别为1s，0.5s时，系统的临界开环增益Kc。（2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4s时，系统的输出响应c(kT)。,图8-24 例3离散系统方框图,由劳斯判据KC=2.4,当T0.5s秒时,解:(1),当T1秒时,由劳斯判据KC=4.37,讨论！,且由，可求得C(z)表达式。,取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得到c(kT)，见图8-25。,(2),图8-25 不同T时的响应,讨论！,8.
8、7 采样系统的稳态误差引 言8.7.1 单位阶跃输入时的稳态误差8.7.2 单位斜坡输入时的稳态误差8.7.3 单位加速度输入时的稳态误差,引 言,稳态误差是衡量系统控制精度的，在控制系统设计中作为稳态指标；实际控制系统由于本身结构和输入信号的不同，其稳态输出量不可能完全与输入量一致，也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点；系统存在摩擦间隙和死区等非线性因素，控制系统的稳态误差总是不可避免的；,8.7 采样系统的稳态误差,控制系统设计时应尽可能减小稳态误差；当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认为系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统，而稳态误差不为零的系统则称为有差系统；
9、应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的稳态误差才有意义！采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！,1、误差及稳态误差的定义 系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实际值之差。即：误差e(t)=被控量的希望值被控量的实际值,设单位反馈采样系统如图8-26所示：,图8-26 单位反馈采样系统,误差,误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量稳态误差记为ess。,2、稳态误差计算方法 线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到采样系统中来。
10、（哪几种方法？）,设单位反馈采样系统如图8-26所示：,图8-26 单位反馈采样系统,（1）应用Z变换的终值定理来计算,利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差,上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式有关。,（2）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差,1.系统的类型（型别）与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于 的关系，原线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2,.的系统为0型、I型、II型离散系统。,8.7.1 单位阶
11、跃输入时的稳态误差,2、连续系统中各种输入下各种类型系统的稳态误差（温故而知新！比较法！）,3、单位阶跃输入时的稳态误差,式中 称为静态位置误差系数。,对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp,从而e()0；对I型、II型以上的离散系统（有一个或一个以上 z=1的极点），则 Kp=，从而e()=0。,因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。,式中 称为静态速度误差系数。因为0型系统的kv=0，I型系统的kv为有限值，II型和II型以上系统的 Kv=，所以有如下结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函
12、数作用，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。,8.7.2 单位斜坡输入时的稳态误差,8.7.3 单位加速度输入时的稳态误差,当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称为加速度误差。,式中 称为静态加速度误差系数。,由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常值，III型及III型以上系统的 ka=,因此有如下结论成立：0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。,8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传 递函数零、极点分布的关系,本节以学生自学为主，在信号与系统分析课程中做了详细的分析！,在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。,零、极点分布的关系,闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系，如图8-27所示,图8-27：实极点与动态响应的关系,闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关系，如图8-28所示,图8-28 复数极点分布与响应的关系,
