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1、第十五讲 拉压与扭转超静定问题 湖南理工学院曾纪杰,拉压超静定问题及其解法装配应力温度应力扭转超静定问题及其解法,拉压超静定问题及其解法1 静定问题与静定结构2 超静定问题与超静定结构3 超静定次数4 一般超静定问题的解法与步骤,平衡方程为,静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）个数=独立的平衡方程数。,1 静定问题与静定结构,未知力个数：3,平衡方程数：2,3 超静定次数未知力个数与独立平衡方程数之差,2 超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立的平衡方程数。,试判断图示结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？,(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3,试判断图示结构是静
2、定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？,(b)静不定。未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2,(c)静不定。未知内力数：3 平衡方程数：2 静不定次数=1,试判断图示结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？,4 一般超静定问题的解法与步骤(1)画受力图,列静力平衡方程(2)画变形几何关系图,列变形几何关系方程(3)建立补充方程(4)将静力平衡方程与补充方程联立解出约束反力或内力(5)强度、刚度计算,(1)画受力图,列静力平衡方程,例题1：图示结构,试求其各杆内力,(2)画变形几何关系图,列变形几何关系方程,l1,变形协调方程：各杆变形的几何关系,物理关系,将物理关系
3、代入变形协调条件得到补充方程为：,由平衡方程、补充方程接出结果为：,(拉力),(拉力),(3)建立补充方程,(4)联立平衡方程,补充方程求解,例题2：一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.,变形协调方程,二 装配应力在超静定结构中，由于制造、装配不准确，在结构装配好后不受外力作用即已存在的应力。,例题：图示结构,求杆3因制作误差而短 所引起的装配应力。,解:(1)绘装配后的受力图(设杆3受拉力FN3,杆1、2受拉力FN1=FN2)列静力平衡方程,(2)绘节点位移图,装配后的新位置B点，得变形几
4、何关系方程,A,B,D,杆3,杆1,杆2,(3)建立补充方程,(4)联立(1)(2)解得,例题3：钢螺栓内径12mm,节距为1mm的，ES=210GPa；铝撑套外径为30mm,内径20mm，EL=70GPa,长150mm。钢=200MPa,铝=80MPa。装配时螺母拧至尺寸后,再拧紧1/4圈。校核螺栓、撑套的强度。,3)力与变形的关系 根据线弹性关系有：S=FNSL/ESAS,L=FNLL/ELAL,(3)根据上述(1)、(2)式,则：FNL(1/ESAS+1/ELAL)=0.25mm 可解得：FN=21236(N)=21.2(kN),三 温度应力在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束
5、的限制，因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。,温度内力引起的弹性变形,由温度变化引起的变形,其中 a为材料的线膨胀系数；为温度变化值;l为杆的长度。,由温度引起的变形,碳钢的线膨胀系数:a12.5106(1),防止温度应力的措施,扭转超静定问题的解法：,（1）建立静力平衡方程；,（2）由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；,（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。,例题4：一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩m以后，杆和管内的最大剪应力。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条件,（3）物理关系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,（5）最大剪应力,杆1：,管2：,作业：孙训方，材料力学（第五版）6-6；6-12,
